Demostrar que $DD' \parallel EE'$ .

Question

$BB'$ y $CC'$ son la altitud de $\triangle ABC$ . Punto $D'$ está fuera $\triangle ABC$ tal que $D'B \perp AB$ en $B$ y $D'C \perp AC$ en $C$ . $AD \cap B'C' = \{E\}$ y $AD' \cap BC = \{F\}$ . Demostrar que $DD' \parallel EE'$ .

Intenté usar el teorema de intercepción $\left(\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{AE'}{AD'}\right)$ pero no sé cómo.

Answer 1

Cuadriláteros $AC'DB'$ , $BC'B'C$ y $ACD'B$ son cíclicos.

Así, $$\measuredangle D'AC=\measuredangle D'BC=\measuredangle C'CB=\measuredangle C'B'B=\measuredangle C'AD$$ y $$\measuredangle BCA=180^{\circ}-\measuredangle BC'B'=\measuredangle AC'E.$$ Así, $\Delta C'AE\sim\Delta CAE'$ y $\Delta DC'A\sim\Delta DCA,$ que da $$\frac{AE}{AE'}=\frac{AC'}{AC}=\frac{AD}{AD'}$$ y desde aquí $$\frac{AE}{AD}=\frac{AE'}{AD'},$$ que da $$EE'||DD'.$$

Answer 2

Considere los triángulos $ABC$ y $AB'C'$ . Obsérvese que son similares. En efecto, el cuadrilátero $BCB'C'$ es cíclico (porque $\angle BB'C=\angle BC'C=90^{\circ}$ ), por lo que $\angle AB'C'=\angle ABC$ y $\angle AC'B'=\angle ACB$ . Por lo tanto, los triángulos $ABC$ y $AB'C'$ son similares.

Además, en este punto de triángulos similares $D$ para el triángulo $ABC$ corresponde al punto $D'$ para el triángulo $AB'C'$ (porque $D$ es el punto opuesto a $A$ en el círculo de la circunferencia $(ABC)$ ; simlilar para $D'$ ). Dado que $E=AD\cap BC$ y $E'=AD'\cap B'C'$ en estos triángulos obtenemos que los puntos $E$ y $E'$ se corresponden entre sí en estos triángulos. Por lo tanto, las construcciones $(A,B,C,D,E)$ y $(A,B',C',D',E')$ son similares. Por lo tanto, $\frac{AE}{AD}=\frac{AE'}{AD'}$ Así que $EE'$ y $DD'$ son paralelos, como se desea.