Una propiedad interesante de los coeficientes binomiales que no podía ' t probar

Question

Así que cuando yo estaba tratando de demostrar que el argumento en este enlace que he dado con algo.

Al extraer el término izquierda desde el término derecho, se obtiene el término debajo de ellos. Lo que es interesante es que como se puede ver que sigue un patrón similar a los coeficientes binomiales tal $1,2,1 - 1,3,3,1 - 1,4,4,1$ etc. y al $k=0$ en la primera capa, todos los términos son iguales a $0$ y al $k=1$ en la segunda capa, todos los términos son iguales a $0$, y al $k = 2$ en la tercera capa todos los términos son iguales a $0$ y así sucesivamente.

$1^k-0^k \qquad\qquad 2^k-1^k \qquad\qquad 3^k-2^k \qquad\qquad 4^k-3^k$ $\qquad 2^k-2.1^k+0^k \qquad 3^k-2.2^k+1^k \qquad 4^k-2.3^k+2^k$ $\quad\quad\quad 3^k-3.2^k+3.1^k-0^k \quad\quad 4^k-3.3^k+3.2^k-1^k$ $\qquad \qquad \qquad 4^k-4.3^k+6.2^k-4.1^k+0^k$

Así que, yo realmente no podía entender por qué. Si puedo probarlo voy a ser capaz de demostrar el argumento en el enlace que he publicado.

Answer 1

Esto es lo que sucede cuando usted aplica las diferencias finitas, para cualquier secuencia. Aquí es útil la notación. Si $a_n$ es una secuencia, su avance diferencia es la secuencia

$$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n.$$

(La notación no debe ser leído como "$\Delta$$a_n$, " sino como "la $n^{th}$ término de la secuencia $\Delta a$.") Por ejemplo, si $a_n = n^2$, luego

$$\Delta a_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1.$$

La razón de esta notación es tan útil es que se puede afirmar: podemos definir de forma inductiva

$$\Delta^k a_n = \Delta^{k-1} a_{n+1} - \Delta^{k-1} a_n$$

y estas son las diferencias de las diferencias. Por ejemplo,

$$\Delta^2 a_n = (a_{n+2} - a_{n+1}) - (a_{n+1} - a_n) = a_{n+1} - 2 a_{n+1} + a_n$$

y

$$\Delta^3 a_n = a_{n+3} - 3 a_{n+2} + 3 a_{n+1} - a_n.$$

En general, resulta que

$$\Delta^k a_n = \sum_{i=0}^k (-1)^i {k \choose i} a_{n+k-i}$$

y este es el coeficiente binomial patrón que se observa. Usted puede comprobar esto por inducción, pero a mi mente, la forma más limpia para demostrarlo, el camino que le permite "ver de un vistazo" - es utilizar el concepto de los operadores.

"Adelante diferencia" es un operador: se come una secuencia y escupe una secuencia, una especie de diferenciación, que se come una función y escupe otra función. Los operadores de formar un anillo, un infinito-dimensional de la generalización de los anillos de matrices, y, en particular, usted puede agregar y multiplicar (además es pointwise, la multiplicación es la composición).

El $k^{th}$ adelante operador diferencia es literalmente el producto $\Delta^k$ $k$ copias del operador diferencia en este anillo. La importancia de esta observación es que el $\Delta$ puede ser escrito como una diferencia de dos operadores, la identidad del operador $I$, que no hace nada:

$$I a_n = a_n$$

y el avance cambio de operador, el cual cambia de una secuencia a seguir:

$$S a_n = a_{n+1}.$$

La relación precisa es que $\Delta = S - I$, y utilizando el teorema del binomio ahora podemos escribir

$$\Delta^k = (S - I)^k = \sum_{i=0}^k {k \choose i} (-1)^i S^{k-i}$$

que es exactamente el resultado deseado.