La paradoja de Banach-Tarski establece que una bola puede dividirse en un número finito de piezas que pueden rotarse y traducirse en dos bolas idénticas a la original.
Pero, ¿se puede dividir una bola en un número finito de piezas que pueden rotarse y traducirse para formar dos bolas con radios distintos de cero de modo que la suma de sus volúmenes sea igual al volumen original? En caso afirmativo, ¿puede hacerse esto sin elección?
Este es un caso especial de un problema planteado por Tarski y el Carro que le preguntó si para cualquier par de subconjuntos medibles $A, B\subset R^n$ de la misma (positiva) de volumen, hay una subdivisión de $A, B$ en subconjuntos medibles $A_1,...,A_k$, $B_1,...,B_k$ tal que $A_i$ es congruente (a través de las traducciones) a $B_i$, $i=1,...,k$. Esta pregunta tiene una respuesta afirmativa (suponiendo que $A, B$ están delimitadas y sus límites satisfacer un determinado estado técnico) que se da en
M. Laczkovich, la Descomposición de conjuntos de área pequeña. J. Londres Matemáticas. Soc. (2) 46 (1992), no. 1, 58-64.
La técnica se satisface la condición, por ejemplo, por subconjuntos con suave límite como en su pregunta al $A$ es una bola y $B$ es la unión de dos bolas.
Laczkovich de la prueba fue no constructiva y utilizado de CA (axioma de elección), pero fue mejorado en
A. Las Marcas, S. T. Unger, Borel círculo cuadrado. Ann. de Matemáticas. (2) 186 (2017), no. 2, 581-605.
quien le dio un constructiva prueba que no dependen de CA.
Edit: me acabo de dar cuenta que es muy parecido pregunta anterior aquí.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
