Dado un nudo, ¿cuál es el género mínimo de un toro en el que se puede incrustar el nudo?

Question

Un n-embeddability definición aparece hacia el final de la sección 5.1 Toro nudos el Nudo libro por C. C. Adams:

Un nudo $K$ es $n$-integrable nudo si $K$ puede ser colocado en un género $n$ normalmente, incrustado superficie sin cruces, sino $K$ no puede ser colocado en cualquier forma estándar incrustadas superficie de menor género sin cruces.

Más tarde, un límite superior se impone en $n$:

Un nudo con el número de puente de $b$ es $n$-integrable nudo donde $n \leq b$.

Sin embargo, hasta ahora no he logrado encontrar una solución cómo incrustar el $6_3$ nudo (número de puente de $=2$) $2$-toro. Lo mejor que puedo hacer es un $3$toro:

De ahí mis preguntas, todas relacionadas a $n$:

1. Es el número de puente de $b$ realmente un límite superior para $n$?
2. Hay un nudo invariante, que serviría como un límite inferior para $n$?
3. Hay un nudo invariante coincidente $n$? (Crosscap se acerca, pero no por ejemplo para la $7_4$ nudo.)

Alternativamente, yo estaría muy honrado y satisfecho por un $2$-toro solución para la $6_3$ nudo.

P. S.: Si es de ayuda, aquí es fundamental el polígono de la parte delantera-izquierda de corte:

Answer 1

Para hacer uso de la idea de que el número de puente de los límites de la embeddability número, vamos a poner a$6_2$ en el puente de la posición de la primera:

Una manera de obtener una superficie para cualquier nudo es para hacer un tubo que sigue todo el nudo, pero el resultado toro no es una "forma estándar incrustadas superficie." Una manera de pensar de la puente de la posición que usted está tomando dos unknotted $n$-enredos y encolado de los límites usando algunos homeomorphism (la trenza en el medio es una forma de representar a la homeomorphism, ya que hay una surjective homomorphism de la trenza de grupo $B_{2n}$ a la clase de asignación de grupo de la $2n$-perforado de la esfera), así poniendo el "top" de la maraña de la $2n$-perforado de la esfera y de la "parte inferior" enredo en $n$ tubos, la composición es una forma estándar incrustadas género-$n$ de la superficie.

Concretamente, aquí es un género $2$de la superficie para el puente de la posición de arriba:

¿Por qué es esto de forma estándar incrustadas? Observe que el perforado de la esfera en la parte superior se puede comer hasta la trenza; la adjunta maneja puede mover libremente, llevando integrado en el nudo con ella. Por ejemplo, aquí es un paso de consumir la trenza:

Totalmente consumida, el resultado es lo que uno podría llamar "un desastre", pero al menos es claro que el resultado de género-$2$ de la superficie es estándar:

El azul se supone que representa la superficie de una esfera con dos tubos pegados en ella.

Para calcular esto, hice uso de una estructura llamada traintrack en el perforado de la esfera para representar los dos arcos entre las perforaciones. Como la trenza de actos en este par de arcos, que pueden unirse segmentos paralelos en un único segmento, permitiendo que el ferrocarril switchers (o lo que me llama internamente a splitters), a continuación, escribir el peso en el segmento de la cuenta de cuántas pistas paralelas se está representando. Una observación es que sólo se necesita para calcular lo que sucede con uno de los dos arcos ya que sólo hay un único camino, hasta isotopía, para dibujar en el segundo arco. Espero que esta información es suficiente para dar sentido a la siguiente cálculo, en donde cada uno de los números paso representa haber consumido otra trenza generador:

Una manera de pensar acerca de la $n$-embeddability es que uno quiere de un género-$n$ Heegaard la división de $S^3$ con el nudo incrustado en la división de la superficie. Esto está relacionado con el número del túnel $t(K)$ del nudo, pero no estoy seguro de cuál es la relación exacta es.

Una cosa a tener en cuenta sobre la superficie obtenida desde el puente de la posición anterior, es que cada tubo contiene un solo hilo, que parece potencialmente ineficientes. Esto podría dar alguna intuición de por qué el número de puente es simplemente un límite superior para embeddability. Sin embargo, se sabe que $6_3$ no es un toro nudo de tal manera que el límite superior es fuerte.

Answer 2

Para agregar a Kyle Miller respuesta, la relación entre el túnel número y $n$-integrable invariantes es $t(K)\leq n $. Hay otro invariante llama el género $g$ número de puente, $b_g(k)$, que generaliza el puente de nudo a una familia de invariantes, y $b_0(K)$ es el clásico puente de número. (Hay un par de definiciones que varían ligeramente de aquí según el autor). Si $b_g(K) = 0$ para algunos $g$, a continuación, $K$ incrusta en un género $g$ de la superficie y es primitivo ( pero principalmente puede ignorar esto por el momento.) Desde aquí, usted puede conseguir un mejor límites sobre el número del túnel, $t(K) \leq b_g(K) +g -1$.

Ahora, la pregunta que uno se hace sobre el número de Puente de ser una cota superior para $n$-integrable, se puede ver esto por el hecho de que $b_g(K)\geq b_{g+1}(K) +1$. En otras palabras, el género $g$ números de puente debe disminuir a cada paso. Así que si $b(K) = b_0(K) = n$, entonces tenemos que tener en $b_n(K) = 0$, e $K$ incrusta en un género $n$ de la superficie, pero tal vez puede ser incorporado en un menor género de enlace.

A veces $n$-integrable se conoce como el Heegaard género de un nudo, $h(K)$.

Último, de nuevo a seguir Kyle respuesta, la definición original de puente número fue el número mínimo de "los puentes", un diagrama puede tener, que son cualquier arco que tiene sólo a través de los cruces. Kyle la cuarta imagen es un ejemplo de esto. Cada $n$ puente nudo tiene un diagrama similar que ha $n$ arcos que van sobre el resto del nudo. Entonces, podemos hacer que una superficie que tiene un identificador para cada puente.