Problema de Berkeley 4.1.11 ¿Prueba incorrecta en la clave de respuesta?

Question

En Berkeley Problemas de las Matemáticas (de la colección de su anterior examen de calificación de los problemas), el problema 4.1.11 nos pide probar:

"Vamos a $X$ e $Y$ son no vacía de subconjuntos de un espacio métrico M. Definir $$d(X, Y)=\inf\{d(x,y) | x\in X, y\in Y\}.$$

1. Supongamos $X$ contiene sólo un punto de $x$ e $Y$ es cerrado. Probar $$d(X, Y)=d(x,y)$$ para algunos $y\in Y$.

2. Supongamos $X$ es compacto y $Y$ es cerrado. Probar $$d(X, Y)=d(x,y)$$ for some $x\in X$ and $s\in S$."

Sin embargo, al menos 2 problema parece ser falsa, de acuerdo a este viejo hilo: Si $A$ es compacto y $B$ es cerrado, mostrar $d(A,B)$ se logra, donde el contraejemplo utilizando el espacio de $M=\{0\}\cup (1, 2)$ fue utilizado.

A pesar de esto, el Berkeley libro ofrece una prueba de las dos declaraciones anteriores y no estoy seguro de donde estas pruebas fallan. Podría alguien ayudarme a detectar el error en esta prueba que falla, especialmente para una situación como la contraejemplo dado en el pasado de rosca?

El Berkeley prueba:

"1. Deje $X = {x}$ e $(y_n)$ ser una secuencia en $Y$ tales que $|x - y_n| < d(X, Y) + 1/n$. Como $(y_n)$ es limitada, pasando a una larga, nos pueden asumir que converge, a $y$, dicen. Como $Y$ es cerrado, $y \in Y$ y, por la continuidad de la norma, $|x - y| = d(X, Y).$

2. Deje $(x_n)$ ser una secuencia en $X$ tal que $d((x_n), Y) < d(X, Y) + 1/n.$ Como $X$es compacto, por la de Bolzano-Weierstrass Teorema [Rud87, p. 40], [MH93, p. 153], podemos suponer que, de pasar a la larga, ese $(x_n)$ converge, a $x$, dicen. Luego nos ha $d(X, Y) = d({x}, Y)$ y el resultado se sigue de la Parte 1."

Answer 1

El problema parece ser que están suponiendo la de Bolzano-Weierstrass de la propiedad en la prueba de $(1)$ a la conclusión de la secuencia delimitada $(y_n)$ converge; por ejemplo, si usted mira el ejemplo con $M=\{0\}\cup(1,2)$, el de la secuencia de $(y_n)$ podría ser dado por $y_n=1+1/(n+1)$, pero se ve que esto en realidad no converge a un elemento de $M$ aunque la secuencia es acotada.

Por lo tanto, parece que el problema puede ser solucionado por forzar la suposición de que $M$ tiene la de Bolzano-Weierstrass de la propiedad, pero para espacios métricos $M$ hemos

$$\text{$M$ has the Bolzano-Weierstrass property}\iff\text{$M$ is sequentially compact}\iff\text{$M$ is compact},$$

así que realmente debemos ser simplemente asumiendo desde el principio que $M$ es compacto (nota $M$ no es compacto en el ejemplo $M=\{0\}\cup(1,2)$).