En Berkeley Problemas de las Matemáticas (de la colección de su anterior examen de calificación de los problemas), el problema 4.1.11 nos pide probar:
"Vamos a $X$ e $Y$ son no vacía de subconjuntos de un espacio métrico M. Definir $$d(X, Y)=\inf\{d(x,y) | x\in X, y\in Y\}.$$
Supongamos $X$ contiene sólo un punto de $x$ e $Y$ es cerrado. Probar $$d(X, Y)=d(x,y)$$ para algunos $y\in Y$.
Supongamos $X$ es compacto y $Y$ es cerrado. Probar $$d(X, Y)=d(x,y)$$ for some $x\in X$ and $s\in S$."
Sin embargo, al menos 2 problema parece ser falsa, de acuerdo a este viejo hilo: Si $A$ es compacto y $B$ es cerrado, mostrar $d(A,B)$ se logra, donde el contraejemplo utilizando el espacio de $M=\{0\}\cup (1, 2)$ fue utilizado.
A pesar de esto, el Berkeley libro ofrece una prueba de las dos declaraciones anteriores y no estoy seguro de donde estas pruebas fallan. Podría alguien ayudarme a detectar el error en esta prueba que falla, especialmente para una situación como la contraejemplo dado en el pasado de rosca?
El Berkeley prueba:
"1. Deje $X = {x}$ e $(y_n)$ ser una secuencia en $Y$ tales que $|x - y_n| < d(X, Y) + 1/n$. Como $(y_n)$ es limitada, pasando a una larga, nos pueden asumir que converge, a $y$, dicen. Como $Y$ es cerrado, $y \in Y$ y, por la continuidad de la norma, $|x - y| = d(X, Y).$
- Deje $(x_n)$ ser una secuencia en $X$ tal que $d((x_n), Y) < d(X, Y) + 1/n.$ Como $X$es compacto, por la de Bolzano-Weierstrass Teorema [Rud87, p. 40], [MH93, p. 153], podemos suponer que, de pasar a la larga, ese $(x_n)$ converge, a $x$, dicen. Luego nos ha $d(X, Y) = d({x}, Y)$ y el resultado se sigue de la Parte 1."
