No se me ocurre ninguna.
El rango debe ser la totalidad de los reales. Lo mejor que tengo es $\log(x)$ pero eso es sólo en la línea real positiva. Y hay $f(x) = x$ pero no es estrictamente cóncavo. Y $-e^{-x}$ sólo mapea la mitad de la línea real.
¿Alguna idea?
$$ f(x) = x-e^{-x} $$ es una función de este tipo. Dado que $f''(x) = -e^{-x}$ es siempre negativo, es estrictamente cóncavo, y no es difícil demostrar que golpea todos los reales.
Incluso mejor, $$ f(x) = 2x -\sqrt{1+3x^2} $$ tiene $f''(x) = -3(1+3x^2)^{-3/2} < 0$ en todas partes y la inversa explícita $f^{-1}(x) = 2x+\sqrt{1+3x^2}$ claramente definidos para todos $x$ .
EDIT: Ya que se pidió en los comentarios, aquí hay un gráfico de esta función y su inversa: 
Obsérvese que, aunque la tasa de crecimiento de los $x$ es lento, la función es asintóticamente lineal (con pendiente $2-\sqrt{3}\approx 0.268$ ) y, por tanto, sin límites.
+1 (¡Saluden a la Hipnotoad!) ¿Me atrevo a preguntar cómo has encontrado el segundo ejemplo? He tenido que trabajar un poco incluso para comprobar la fórmula inversa. Supongo que me estoy perdiendo algo muy bueno.
@CalumGilhooley La idea de "función lineal + función cóncava" era bastante sencilla. Me imaginé que una función algebraica tendría una forma cerrada inversa (a diferencia de la trascendental $x-e^{-x}$ ), y luego jugué con los parámetros hasta que tanto la función como su inversa quedaron bien.
@eyeballfrog Upvoted. Sería genial si puedes añadir un gráfico o dos. ¡A los humanos les encantan los gráficos!
Hubiera preferido incorporar el $\pi x$ en la integral, añadiendo una constante al integrando. Y utilizando $\pi$ tal vez no sea la opción más obvia de un número mayor que $~\frac\pi2$ el punto esencial es tener la primitiva de una función decreciente en todas partes de $t$ que además está acotado positivamente fuera de $0$ (es decir, permanece ${}>c$ para alguna constante $c>0$ ).
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$f(x) = -e^{-x}$ ?
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@DanielSchepler Estaba a punto de escribir lo mismo, +1.
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Lo siento, debí aclararlo, debe mapear el conjunto de los reales. (¿Cuál es el término matemático para eso?)
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@cammil una suryección (es decir, una función cuyo rango es igual a su codominio).
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Si empiezas con la rama inferior derecha de la hipérbola $xy=-1$ y transformar las coordenadas para inclinar el $x$ hacia la derecha y el $y$ eje hacia la derecha hacia la parte superior, tendrá otra opción.
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Un título mejor es " ¿existe una función convexa biyectiva de los reales a los reales? " (prefiero convexo ya que "convexo" es más sencillo y popular que "cóncavo")
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@RossMillikan La respuesta de Eyeballfrog es un ejemplo de ello.