¿Existe una función biyectiva, monotónicamente creciente y estrictamente cóncava de los reales a los reales?

Question

No se me ocurre ninguna.

El rango debe ser la totalidad de los reales. Lo mejor que tengo es $\log(x)$ pero eso es sólo en la línea real positiva. Y hay $f(x) = x$ pero no es estrictamente cóncavo. Y $-e^{-x}$ sólo mapea la mitad de la línea real.

¿Alguna idea?

Answer 1

$$f(x) = x-e^{-x}$$ es una función de este tipo. Dado que $f''(x) = -e^{-x}$ es siempre negativo, es estrictamente cóncavo, y no es difícil demostrar que golpea todos los reales.

Incluso mejor, $$f(x) = 2x -\sqrt{1+3x^2}$$ tiene $f''(x) = -3(1+3x^2)^{-3/2} < 0$ en todas partes y la inversa explícita $f^{-1}(x) = 2x+\sqrt{1+3x^2}$ claramente definidos para todos $x$ .

EDIT: Ya que se pidió en los comentarios, aquí hay un gráfico de esta función y su inversa:

Obsérvese que, aunque la tasa de crecimiento de los $x$ es lento, la función es asintóticamente lineal (con pendiente $2-\sqrt{3}\approx 0.268$ ) y, por tanto, sin límites.

Answer 2

¿Qué tal si

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \ln(x+1)& &x\ge 0\\1-e^{-x}& &x<0\end{array}\right.$

Answer 3

$f(x) = \pi x+ \int_0^x \arctan (-t)\,dt$ es un ejemplo. Se pueden construir muchos más ejemplos como éste.