Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

8 votos

¿Existe una función biyectiva, monotónicamente creciente y estrictamente cóncava de los reales a los reales?

No se me ocurre ninguna.

El rango debe ser la totalidad de los reales. Lo mejor que tengo es log(x) pero eso es sólo en la línea real positiva. Y hay f(x)=x pero no es estrictamente cóncavo. Y ex sólo mapea la mitad de la línea real.

¿Alguna idea?

6 votos

f(x)=ex ?

1 votos

@DanielSchepler Estaba a punto de escribir lo mismo, +1.

0 votos

Lo siento, debí aclararlo, debe mapear el conjunto de los reales. (¿Cuál es el término matemático para eso?)

20voto

eyeballfrog Puntos 1

f(x)=xex es una función de este tipo. Dado que f es siempre negativo, es estrictamente cóncavo, y no es difícil demostrar que golpea todos los reales.

Incluso mejor, f(x) = 2x -\sqrt{1+3x^2} tiene f''(x) = -3(1+3x^2)^{-3/2} < 0 en todas partes y la inversa explícita f^{-1}(x) = 2x+\sqrt{1+3x^2} claramente definidos para todos x .

EDIT: Ya que se pidió en los comentarios, aquí hay un gráfico de esta función y su inversa: Plot

Obsérvese que, aunque la tasa de crecimiento de los x es lento, la función es asintóticamente lineal (con pendiente 2-\sqrt{3}\approx 0.268 ) y, por tanto, sin límites.

1 votos

+1 (¡Saluden a la Hipnotoad!) ¿Me atrevo a preguntar cómo has encontrado el segundo ejemplo? He tenido que trabajar un poco incluso para comprobar la fórmula inversa. Supongo que me estoy perdiendo algo muy bueno.

2 votos

@CalumGilhooley La idea de "función lineal + función cóncava" era bastante sencilla. Me imaginé que una función algebraica tendría una forma cerrada inversa (a diferencia de la trascendental x-e^{-x} ), y luego jugué con los parámetros hasta que tanto la función como su inversa quedaron bien.

2 votos

@eyeballfrog Upvoted. Sería genial si puedes añadir un gráfico o dos. ¡A los humanos les encantan los gráficos!

5voto

paw88789 Puntos 19712

¿Qué tal si

f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \ln(x+1)& &x\ge 0\\1-e^{-x}& &x<0\end{array}\right.

3voto

zhw. Puntos 16255

f(x) = \pi x+ \int_0^x \arctan (-t)\,dt es un ejemplo. Se pueden construir muchos más ejemplos como éste.

0 votos

Hubiera preferido incorporar el \pi x en la integral, añadiendo una constante al integrando. Y utilizando \pi tal vez no sea la opción más obvia de un número mayor que ~\frac\pi2 el punto esencial es tener la primitiva de una función decreciente en todas partes de t que además está acotado positivamente fuera de 0 (es decir, permanece {}>c para alguna constante c>0 ).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X