Probando la existencia de una solución entera en$x^2y^3+z^2=6$

Question

He estado trabajando con esta curva últimamente, pero no he sido capaz de resolver este caso.

$$x^2y^3+z^2=6$$

He conseguido un algoritmo para buscar soluciones en función de los valores de $z$ y consiguió que ninguna solución de existir cuando el $|z|\leq 10^5$. Yo podría tratar de aumentar el tamaño de la búsqueda, pero dado que el algoritmo se ejecuta en $O(n^2)$ la cantidad de tiempo que iban a saltar a 1 hora solo para comprobar $|z|\leq 10^6$ e $5$ días para $|z|\leq 10^7$.

Ahora sé que si la solución existe, $x,z \equiv 1 \mod{2}$ y que $y \equiv 1 \mod{4}$ y que $2 \not | z,x,y $ e $3 \not | z,x,y$, también se $(xy,z)=1$.

La cuestión no es encontrar los valores de $x,y$ o $z$, pero para probar si una solución a través de los números enteros existen o no. Cualquier ayuda, sugerencias o soluciones se agradece.

EDIT: creo que con python y multiprocesamiento he comprobar que para $|z|\leq 10^8$ no existe una solución. Pero siento que he codificado algo mal ya que el programa se ejecuta mucho más rápido de lo que debería.

Answer 1

AÑADIDO: funciona bastante bien para $y = -p,$ donde $p$ es un primer e $p \equiv -5 \pmod{24}.$ No siempre, sin embargo, no hay solución en los enteros a $u^2 - 499 v^2 = 6,$ así que no puede haber una solución a $z^2 - 499^3 x^2 = 6,$

Como en el comentario por Poon,

$$ 62531004125^2 - 6859 \cdot 755031379^2 = 6 $$ $$ 30062417279159968032434332377499679191^2 - 6859 \cdot 362989027474817934968547501096752545^2 = 6 $$ son los dos más pequeños de soluciones de con $y = -19$

Esta es una Pell tipo de situación..

El siguiente es $y = -43.$

$$ 8524568252330795722226762076275477^2 - 79507 \cdot 30232197004259457995489433581233^2 = 6 $$

$$ 7854330327479105748865242264224583147937033544548000861492635087111452983686976831425073648904157700425958139623153797892698716197^2 - 79507 \cdot 1091798726642836794174438412786249442561116671851858490296127998493079755047027851686091414930149044443059275247490273988265975073^2 = 6 $$

$19 \pmod {24},$ o $-5 \pmod {24}$ se ve bien, saltar a $y=-67$

$$ 282978368450687434487209373191993925035994947255483507^2 - 300763 \cdot 515989702066780538602608723807499847473549946045669^2 = 6 $$
$$ 110282895315930497927912550392745703024272661444749938273795258966953853545781325097922911621692636895662478761651920330433345436002171835031498514609892669112804144738962046702905275306924383919904704053765669273732362771438086818759096600035555210393331272621715089906882939770617^2 - 300763 \cdot 201092537951519476578846016654832921687447975787740751416540268301538352543770725685782163606655569263151546549701485320486846032648563723182340355499316131383039221816513366591020013230115379554131047351811803703438819429350858064042234604275684238200002441987024851219462842279^2 = 6 $$

Bien, $y=-91$ no funciona, por lo que es probablemente de los números primos $p \equiv -5 \pmod {24,} $

Se ve bien: $y = -139$ obras.

$$4362811041355070169863445353127930955459611243393190431129982455344444937966635765034690725017372595556332974381641720288818463876300492140964198599085172852063910548429431998295054330240877818521750650943853474767971595481380748602727279462883776818584948606778731999374536671484774081257730189572990126422750941506328066671948299736754296627083409459327142431344285253530904973914932476112673827164600483235886537816825709905101946637717937589365141741638476449995905^2 - 2685619 \cdot 2662221602563249187278263196011187615830538137637142943172206847128695186087154957324454563072568300849581804322115608951178431618508361010826207991363516489555641531605807855706702830569730399355959940637296610198308891993171988598931443596581366199909035947670242973782535283742571317010626567192123563836486926084664553687222659057469486167968416946690621995773225236487161717059270246838151043190279154072191947271777597482296371378305290636442120248659630720699^2 = 6 $$

$$ 11007229320114200682613076077054270674493469083551395090272400450528009167811973532453164230028506749238868355270609196939003181071165527762688822477732870085553734659733958280600416037711133666637554796387480108123093268249334915679222608686278074350575513887596916117811796252204388381986306317919874745606321543530836091755198128978452469078117805119958799386852835463813171493204121621031603301970267358021486072087211213638671800520653184667508559060289724518769975994491764389949401683257784292501138366997875642534662126840960900976803282849392676436506058878390727089164075298305914748170136999780085836991430800327841415662720459718357825397573172976708908467441^2 - 2685619 \cdot 6716697881848674838156030386241616967270051136862684282955991537338414961773579582932757141004204932054213610185226058428383136198936104632942497489498739897183325583340951152435956413801114255489130165449836905051326165370830554673259419604890586134665267687698856933901633921567579748923093505649829262337020641217111875006923069411778584596026715953822127592173142902673636449348881975583202914018304502788869342977433804925999933660151442708630639152564344393622683488924533630738934557423091516094843646237584273637443239810351573953018195234525958355653029554536372430979361344097937950355948103639632777321526741953229033254611279820660546487889155631849994795^2 = 6 $$

$y = -163 $ obras. Los demás deben ser verificados para el número de clase! No, $139$ tiene clase número 3.

$$ 1085997992037838057157328137528530814161327411705546203392088990536040293^2 - 4330747 \cdot 521852316521211748718181001351655538497525757942306914225856323090563^2 = 6 $$

$$ 50576439676678868925447962668907434500838480927375612223861414693409656592498369002412775393461481995344704306058443464631047373837930992505267663441324334534575755546957820383354011427592442618572553822492422632438018310472471467898207758462496052055942015486413777383860175293508915160725621756472206275639559775926508637417532793267711813496401310961017300099032326961359121416479939614082943062346592497129301169840684667781108633285175838272455967344224725866133380586503707411632734800342621002287656549985786259734994462255794013879381219457810712405084283774220828444140059155951479917295341262660858326466541291848167815166877848998169467570609203031564636509860322954392994510333265978746217370992701911980229349147987494073342207262560127339452333844537013716461592403989956476819621648310312838004247585673708244092703910695114947918019837457181216465905991224195278477515712580521442345725333566315384496982715121821384411921111090497302852848529853789432402185245489658332331342402733989663728321530595214247562396845918152405928944606618632203463997552998841227239534262770964180949700862983087031814190544748296635415256018314980663318640218710377201213304383260086867630769339280626456705440420391795961162063402561211243834067151983^2 - 4330747 \cdot 24303389509168264155926836231677339583236279792966852959122818227864577731252374449598975246414912863111465364548050391636522567455569326936167362733978208903502309971646876492298053014761680209263210334367950807323938188804032444180691208424432641560933430829642849222471126855975046976264861142200196090873689848421843657191122679730405457613374464333528713595028025499158915631933516131901486678847790154871195366492722123901490942121147791994088903595812840508108723450617408520351474791501477137500457342580798802860226722483071140092607989410381522583658260015263828479974612715845634569484085007653986257235669726683443743485813491066481117864482736645186942197877484560957415923165525303520724765971741826705012467970971652276787231995434582749181129198639619283181022181454009410979226141089115582679800903885255370692759102173591511270474888363142061555783426807681868230735428982849314717966630981691678606125268941949114427742580036471039151646099484825259176902899828540485246941295441813001097452114340209278442506644192595084839750875848820948944425473440101086124918167955646103531186497403430181161785931987860726637908855991154397153654665336597089114095843532096882086827889787605551124993774754527399260647535995679182021376817^2 = 6 $$