Ejemplo de factorización en un anillo polinomial que no es una UFD

Question

Estoy buscando un ejemplo particular de un polinomio anillo de $A[x]$, $A$ integral de dominio, que no es un disco flash usb. Un ejemplo fácil es $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}][x]$aquí $6 x^2 = (2x)(3x) = ((1+\sqrt{-5})x)((1-\sqrt{-5})x)$.

Me gustaría encontrar un anillo y un polinomio donde el problema no es sólo en los coeficientes. En otras palabras, un anillo de $A[x]$ donde existe un polinomio $f \in A[x]$ con dos factorizations que no son de la forma $f = (a_1g)(b_1h) = (a_2 g)(b_2h)$, $g,h \in A[x]$, $a = a_1b_1 = a_2b_2 \in A$ (con $a_1b_1, a_2b_2$ dos factorización de $a$). O no de una forma similar, con más factores.

Answer 1

Tal vez este es el tipo de cosa que usted está buscando: Si $a,b,c,d\in A$ son irreducibles no asociar elementos que $ab=cd$, luego $$ (ax+c)(dx-b) = adx^2 - bc = (ax-c)(dx+b). $$ Con $A = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, teniendo en $(a,b,c,d) = (2,3,1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5})$, este resultados en $$ (2x+1+\sqrt{-5})((1-\sqrt{-5})x-3) = (2x-1-\sqrt{-5})((1-\sqrt{-5})x+3). $$ Sin embargo, usted todavía puede ver este tipo de cheat, ya que $ax+c$ e $dx+b$ en realidad son múltiplos escalares; es sólo que el factor escalar, $d/a = b/c$, no se en $A$ , pero en su lugar, en su campo de fracciones. Pero esto es inevitable: en el campo de fracciones, polinomios tienen única factorización; aparentemente tan distintas factorizations en lineal factores sobre los $A$ necesariamente idéntica a un lado de unidades en el campo de las fracciones.

Otra posibilidad es utilizar un polinomiales de orden superior que es irreducible sobre $A$, pero no sobre el campo de fracciones. Por ejemplo, si $ab=cd$luego $$ (ax+c)(ax+d) = a(ax^2 + (c+d)x + b). $$ En $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, esto puede ser realizado como $$ (2x + 1 + \sqrt{-5})(2x + 1 - \sqrt{-5}) = 2(2x^2 +2x + 3). $$ Este es, en esencia, un ejemplo del fracaso de Gauss lema para un no-UFD. He encontrado la idea para este ejemplo en David E Speyer respuesta a una MathOverflow pregunta; las otras respuestas también pueden ser de su interés.

Answer 2

Cuando $A$ no es un dominio, la descomposición de un polinomio en $A[x]$ como $f=gh$ no necesariamente simplificar, es decir, no siempre reduce su grado.

Por ejemplo: $$ 5x+1=(2x+1)(3x+1) \bmod 6 $$

Incluso es posible descomponer un polinomio lineal como un producto de dos cuadráticapolinomios: $$ x+1=(2x^2+x+7)(4x^2+6x+7) \bmod 8 $$