Anillo de enteros de $\mathbb{Q}(i,\sqrt{5})$

Question

Estoy tratando de encontrar el anillo de enteros $A_L$ de $\mathbb{Q}(i,\sqrt{5})$ . Sé que el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(i)$ es $\mathbb{Z}[i]$ y que el de $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ es $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ . Me gustaría decir que $A_L=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2},i\right]$ .

Desde Bases integrales del anillo de enteros de una extensión, dadas las bases integrales de los anillos de enteros de los subcampos He entendido que es posible decir $A_L=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\mathbb{Z}\left[i\right]$ utilizando el hecho de que los discriminantes de las dos bases enteras son coprimos (Aquí utilizamos un resultado que es posible encontrar en el libro de Marcus).

¿Hay alguna manera de encontrar $A_L$ de una manera más directa sin utilizar ese resultado?

Answer 1

Escriba $\omega = \frac{1 + \sqrt{5}}2$ . Entonces todos los elementos $\alpha = a + bi + c\omega + di\omega$ donde $a, b, c, d$ son números enteros. Si el anillo de enteros es mayor, deben existir enteros algebraicos de la forma $\alpha/2$ o $\alpha/5$ desde $2$ y $5$ son los únicos divisores primos del discriminante del subring generado por $i$ y $\omega$ . Ahora todo lo que tienes que hacer es demostrar que si $\alpha/2$ es un número entero algebraico, entonces $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son divisibles por $2$ y luego hacer lo mismo con respecto al primo $5$ .