Demostrar: si$c^2+8 \equiv 0$ mod$p$ entonces$c^3-7c^2-8c$ es un mod de residuo cuadrático$p$.

Question

Quiero mostrar:

Si $c^2+8 \equiv 0$ mod $p$ primer $p>3$, a continuación, $c^3-7c^2-8c$ es una ecuación cuadrática de residuos de mod $p$.

He calculado que $c^3-7c^2-8c \equiv -7c^2-16c \equiv 56- 16c \equiv 8(7-2c) \equiv c^2 (2c -7)$, por lo que debería ser suficiente para ver que $2c -7$ es una ecuación cuadrática de residuos. ¿Y ahora qué?

Answer 1

PS

Answer 2

Tenemos que $$(c +1)^2 = c^2 + 2c + 1 = c^2 + 2c + 8 -7 = (c^2 + 8) + (2c - 7) \equiv 2c - 7 \mod p.$ $ Esto prueba la reclamación.

Answer 3

Insinuación:

Como $c^2\equiv-8\pmod p,$

PS

$$c(c+1)=c^2+c\equiv c-8\pmod p$

Creo que así es como surgió naturalmente el problema.