Cada $k \in {\mathbb Z}$ construir un mapa continuo $f: S^n \to S^n$ $\deg(f) = k$.

Question

Supongo que $S^n$ es un $n$-esfera dimensional.

Definición del grado de mapa: Let $f:S^n \to S^n$ ser un mapa continuo. Entonces $f$ induce un homomorfismo h $f_{*}:H_n(S^n) \to H_n(S^n)$. Teniendo en cuenta el hecho de que $H_n(S^n) = \mathbb {Z}$, podemos ver que $f_*$ debe ser de la forma $f_*(n)=an$ % entero fijo $a$. Este $a$ entonces se llama el grado de $f$.

Pregunta: Cada $k \in {\mathbb Z}$ ¿cómo uno construir un mapa continuo $f: S^n \to S^n$ $\deg(f) = k$?

Answer 1

Aquí hay otra solución.

Reivindicación 1: Si $f:S^n \to S^n$ tiene el grado $d$, también lo $\Sigma f: S^{n+1} \to S^{n+1}$

Prueba: el Uso de Mayer-Vietrois secuencia de $S^{n+1}$. Deje $A$ ser el complemento del polo Norte, y $B$ el complemento del polo Sur. A continuación, $S^n \simeq A \cap B$ y la conexión de mapa de $\partial_*$ en el Mayer-Vietrois secuencia es un isomorfismo. Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

$$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\la}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xleftarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} H_{n+1}(S^{n+1}) & \ra{\partial_*} & H_n\left(A \cap B\right) & \la{i_*} & H_n(S^n)\\ \da{\Sigma f_*} & & \da{} & & \da{f_*} \\ H_{n+1}(S^{n+1}) & \ra{\partial_*} & H_n\left(A \cap B\right) & \la{i_*} & H_n(S^n)\\ \end{array} $$

en el cual horizontales de cada mapa es un isomorfismo. Por lo tanto $\Sigma f_* = \partial_*^{-1} i_* f_* i_*^{-1}\partial_*$ y la aplicación de muestra homología que $\text{deg}(f) = \text{deg}(\Sigma f)$

Por lo tanto estamos reducidos a una muestra de que hay un mapa $f:S^1 \to S^1$ grado $k$. Pero esto es sólo el devenir número, y es (bastante conocida) que el mapa de $z \mapsto z^k$ (donde vemos a $S^1$ como el círculo unidad en $\mathbb{C}$) tiene un grado $k$.

Por último me gustaría dirigir a echar un vistazo a la Topología Algebraica por Hatcher:

• Ejemplo 2.31 da un directo de la construcción de un mapa arbitrario de grado;
• Ejemplo 2.32 funciona mediante el cálculo del mapa de $f(z)=z^k$ demostrar que tiene grado $k$; y
• La proposición 2.33 da otra prueba de la Reivindicación 1 arriba (que básicamente toma una ruta diferente a la misma conmutativo el diagrama).

Answer 2

Sugerencia: Parametrizar $S^n$ $$g(t_1,\ldots,t_n)=\begin{pmatrix} \cos(t_1)\\ \sin(t_1)\cos(t_2)\\ \vdots\\ \sin(t_1)\cdots\sin(t_{n-1})\cos(t_n)\\ \sin(t_1)\cdots\sin(t_{n}) \end{pmatrix}$$ más de $t_1,\ldots,t_{n-1}\in [0,\pi]$$t_n\in [0,2\pi)$, y definir $f:S^n\to S^n$ $$f(g(t_1,\ldots,t_{n-1},t_n))=g(t_1,\ldots,t_{n-1},kt_n)$$ lo que equivale a envolver la esfera alrededor de la misma $k$ veces en el $x_nx_{n+1}$ plano. Una manera de mostrar que esto es el mapa deseado es demostrar que es continua y, a continuación, considere uno de los simplices perpendiclar a la $x_nx_{n+1}$ plano, al ver el simplicial complejo de $S^n$ como subdivide versión de $\partial I^{n+1}$ sentado en $E^{n+1}$ (por ejemplo, el borde superior de un cuadrado, la cara superior de un cubo, etc).