¿Cuál es el espacio$L^p(\mathbb R)/_\sim$ donde$f\sim g$$\iff$$f$ y$g$ tiene la misma distribución?

Question

Deje $L^1(\mathbb R)$ el conjunto de la función que se Lebesgue integrable. Definir para $f$ e $g$ la relación $$f\sim g\iff m\{f\leq x\}=m\{g\leq x\},$$ donde $m$ es la medida de Lebesgue. Es una relación de equivalencia. Cómo esta relación de equivalencia es interesante ? En la probabilidad de punto de vista, parece ser el espacio de la variable aleatoria que tenga la misma ley. Es este espacio importante ? Comúnmente se utiliza ? ¿Alguien sabe la referencia de un espacio de este tipo ?

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Por ejemplo, un problema que yo veo es el hecho de que $X:\Omega \to \mathbb R$ e $Y: \Omega '\to \mathbb R$ puede ser variable aleatoria en $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ e $(\Omega ',\mathcal F',\mathbb P')$ (probabilidad diferente de espacio), pero decir que $X$ e $Y$ son equivalentes parece extraño. Así que tal vez, incluso si están en el mismo espacio de probabilidad, al final, $X\sim Y$ no es realmente relevante y no nos da información muy interesante. ¿Qué te parece ?

Answer 1

Deje $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ un espacio de probabilidad. Para mí, una variable aleatoria $X:\Omega \to \mathbb R$ distribución $F$; que decir $$F(x)=\mathbb P(X\leq x)$$ es un representante de la clase de la equivalente de la relación que dio.

La intuición detrás de la variable aleatoria es la de que hay un montón de función tal que $Y:\Omega \to \mathbb R$ es medible y $$\mathbb P(Y\leq x)=F(x),$$ y no hay ninguna razón para elegir uno en lugar de otro, para describir el problema. Así que, en cierto sentido, de tomar una variable aleatoria $X:\Omega \to \mathbb R$ s.t. $\mathbb P(X\leq x)=F(x)$ es realmente : tomar una función de "al azar" en $$\{X:\Omega \to \mathbb R\mid X\text{measurable and }F(x)=\mathbb P\{X\leq x\}\},$$ para describir el problema, y a todos se les describe correctamente. Que exactamente significa : tomar un representante de $[X]_F\in \mathbb F/_\sim$ donde $$\mathbb F=\{X: \Omega\to \mathbb R \mid X\text{ measurable}\}$$ y $$X\sim Y\iff \mathbb P(X\leq x)=\mathbb P(Y\leq x),$$ y $[X]_F=\{X\in \mathbb F\mid \mathbb P(X\leq x)=F(x)\}.$

Creo que, esto le da más la intuición sobre la razón por la que llamamos realmente de ellos "variable Aleatoria" y no sólo medible función (incluso si ambos son el mismo). Como se puede ver, si $Z:\Omega \to \mathbb R$ es medible, entonces $Z$ obviamente cumplir con la ley de $\mathbb P\{Z\leq x\}=:G(x)$, es decir, $Z\in [Z]_G$). Pero creo que para ver una variable Aleatoria con distribución $F$ como representante de la clase de $[X]_F$ da realmente la intuición de que el hecho de que usted no tiene que saber con precisión qué es $Z$ a se describe el problema.

Cuenta que, en general, si usted tiene una probabilidad del espacio $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ y una variable aleatoria $X:\Omega \to \mathbb R$ que (sorprendentemente) no necesariamente se da $X$ bajo una bonita forma. Tomemos, por ejemplo, $\Omega =(0,1)$, $\mathcal F$ los conjuntos de Borel de $(0,1)$ e $\mathbb P$ la medida de Lebesgue en $(0,1)$. A continuación, $$X(\omega ):=\inf\{x\in\mathbb R\mid F(x)\geq \omega \},$$ donde $\displaystyle F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^x e^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm d x$ siguen una distribución normal, $\mathcal N(0,1)$, pero no se puede escribir $X(\omega )$ bajo una forma que es fácil trabajar con. Pero al final, como la medida de una variable aleatoria existe, el conocimiento de una forma cerrada de una variable aleatoria es irrelevante para describir la experiencia.