¿Los primos contienen una progresión infinita casi aritmética?

Question

Los números primos contienen finito progresiones aritméticas de longitud arbitraria, pero no una infinita progresión aritmética. Dicen que definir una casi progresión aritmética a ser una secuencia $a_k$, $k \geq 0$, de tal manera que no existan $a,d$ tal que $a_k = a+kd + O(\sqrt{k})$. Hacer los números primos contener un infinito casi una progresión aritmética?

(La definición es ad hoc y que acaba de hacer por curiosidad. Escribí el "término de error" $O(\sqrt{k})$ en analogía a la expectativa de un paseo aleatorio. Un evidente la generalización de la pregunta es para reemplazar esto con algunas otras "pequeñas" término de error como $O(\ln k)$ o lo que sea.)

Answer 1

Nota: puedo permitir $a_k$ a repetir. Si desea mantener diferentes, la respuesta de N. S. da una respuesta negativa.

La respuesta es: no lo sabemos, pero probablemente. De hecho, su pregunta es equivalente a la pregunta de si el primer lagunas satisfacer $p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n})$, como explico a continuación. Esta obligado se cree que mantener - de hecho, ejecución de la conjetura (Cramér de la conjetura) es que tenemos $p_{n+1}-p_n=O((\log p_n)^2)$, pero estamos muy lejos de la prueba. La mejor incondicional obligado tenemos es $p_{n+1}-p_n=O(p_n^{0.525})$, y suponiendo que la hipótesis de Riemann podemos llevar esto a $O(p_n^{1/2+\varepsilon})$, pero no a $O(\sqrt{p_n})$. (ver Wikipedia)

Para ver la equivalencia, tomar algunas casi infinita progresión aritmética. Supongamos que el $O(\sqrt{k})$ plazo está limitada por $M\sqrt{k}$. Para cualquier prime $p_n$, vamos a $k$ ser el menos tal que $a+dk>p_n+M\sqrt{k}$. A continuación, $p_{n+1}\leq a_k\leq a+dk+M\sqrt{k}\leq d+p_n+M\sqrt{k}+M\sqrt{k}=p_n+O(\sqrt{k})=p_n+O(\sqrt{p_n})$.

Por el contrario, supongamos que las brechas entre los números primos son $O(\sqrt{p_n})$. Tome $a=0,d=1$ e $a_k$ los primos más pequeños mayor que $k$. La suposición implica trivialmente $a_k=k+O(\sqrt{k})$.

Answer 2

La respuesta es NO .

Tenga en cuenta que cualquier conjunto $S$ que contenga una progresión casi aritmética infinita satisface $$ \ underline {\ mbox {dens}} (S): = \ liminf_n \ frac {(\ mbox {card} (S \ cap [0, n]))} {n} \ geq \ frac {1} {d} $$

Pero los primos tienen densidad $0$ .

Answer 3

El número de números primos ≤ N es aproximadamente N / log (N). La secuencia podría tener aproximadamente N / d primos ≤ N en la que la secuencia solos, si N es grande. Una vez que N es lo suficientemente grande como para que log N >> d, que no hay suficientes números primos alrededor de su secuencia.

Por otro lado, usted será capaz de encontrar una muy larga secuencia de números primos $a_k$ donde

$-10000\cdot k^{1/2} ≤ a_k - (3 + 10000k) ≤ 10000 \cdot k^{1/2}$.

Todo lo que necesitas es $a_0=3$, algunos prime $3 ≤ a_1 ≤ 20003$, algunos de los mejores en el rango 20003 +/- 14000, uno en el rango de 30003 +/- 17000 etc. Esto funcionará hasta llegar a los números alrededor de $e^{10000}$ donde las densidades de los números primos es demasiado bajo.