Es bien conocido que $$\int \frac{\sin(x)}{x} \,dx$$ no se puede expresar en términos de funciones elementales. Sin embargo, si queremos utilizar repetidamente integración por partes, que parecen ser capaces de por lo menos aproximado de la integral a través de la fórmula $$\int f(x) \,dx \approx \sum_{n=1}^a \frac{(-1)^{n-1}\cdot f^{(n-1)}(x)\cdot x^n}{n!}$$ donde $a \in \mathbb{N}$. Al conectar esta en una calculadora gráfica, converge, pero muy lentamente. También tiende a converger más rápidamente para las funciones que tienden a $0$ como $x \to \infty$. Mi conjetura es que $$\int f(x) \,dx = \lim_{a\to\infty}\sum_{n=1}^a \frac{(-1)^{n-1}\cdot f^{(n-1)}(x)\cdot x^n}{n!}$$ al menos en un cierto intervalo, pero no estoy seguro de dónde buscar para aprender más acerca de estas series. Alguna idea? Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Has esencialmente redescubierto en series de Taylor. Deje $G(x)$ ser una antiderivada de $f(x)$, lo $f^{(k)}(x) = G^{(k+1)}(x)$ para $k \ge 0$. Si $G$ es analítica en un barrio de $0$, e $x$ es en ese barrio,
$$ G(0) = \sum_{k=0}^\infty G^{(k)}(x) \frac{(-x)^k}{k!} = G(x) + \sum_{k=1}^\infty f^{(k-1)}(x) \frac{(-x)^k}{k!}$$
es decir, $$ \int_0^x f(t)\; dt = G(x)- G(0) = \sum_{k=1}^\infty f^{(k-1)}(x) \frac{(-1)^{k-1} x^k}{k!} $$
