Calcule$\sum^{20}_{k=1}\frac{1}{x_k-x_k^2}$ donde$x_k$ son raíces de$P(x)=x^{20}+x^{10}+x^5+2$

Question

Tenemos el polinomio $P(x)=x^{20}+x^{10}+x^5+2$ , que tiene raíces $x_1,x_2,x_3,...,x_{20}$ . Calcule la suma $$\sum^{20}_{k=1}\frac{1}{x_k-x_k^2}$ $

Lo que he notado: $$\sum^{20}_{k=1}\frac{1}{x_k-x_k^2}=\sum^{20}_{k=1}\left(\frac{1}{x_k}+\frac{1}{1-x_k}\right)$ $

Sé cómo calcular la primera suma: $\sum^{20}_{k=1}\frac{1}{x_k}$ .

Por favor, ayúdame a calcular el segundo: $\sum^{20}_{k=1}\frac{1}{1-x_k}$ .

Answer 1

Desde $$\frac{P'(x)}{P(x)} = \sum_{k=1}^{20}\frac{1}{x-x_k}$ $

y $P'(x)= 20x^{19}+10x^9+5x^4$

tenemos $$\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{1-x_k}=\frac{P'(1)}{P(1)} = {35\over 5}=7$ $

Answer 2

Sugerencia :

Establecer $y=1-x$ . Si el $x_k$ satisface la ecuación $\;x^{20}+x^{10}+x^{5}+2=0$ , el $\:y_k$ correspondiente satisface la ecuación $$(1-y)^{20}+(1-y)^{10}+(1-y)^{5}+2=0.$ $

¿Puedes encontrar el término constante y el coeficiente de $y$ en esta ecuación, para usar las relaciones de Vieta?