Es bien sabido que los logaritmos de números primos son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$. También se sabe que la pregunta de si los logaritmos son algebraicamente independientes sobre $\mathbb Q$ es un problema abierto.
¿Qué se sabe sobre el caso siguiente en complejidad al lineal? ¿Son los logaritmos de primos cuadráticamente independientes sobre $\mathbb Q$, es decir, $$\sum_{ij\le N}a_{ij} \log p_i \log p_j = 0, \quad a_{ij} \in \mathbb Q, \quad \implies a_{ij} = -a_{ji} $$?
Es bastante probable que esta sea una pregunta abierta, por la siguiente razón indirecta.
Para enteros no negativos $m_p, n_p$ ($p$ primo), casi todos cero, si $a = \prod_pp^{m_p}$ y $b = \prod_pp^{n_p}$, entonces \begin{multline*} \log_2a = \log_3b \iff \frac{\sum_p m_p\log{p}}{\log2} = \frac{\sum_p n_p\log{p}}{\log3} \\ \iff -n_2(\log2)^2 + (m_2 - n_3)\log2\log3 + m_3(\log3)^2 \\ - \sum_{p\geqslant5}n_p\log2\log{p} + \sum_{p\geqslant5} m_p\log3\log{p} = 0, \end{multline*} y si se supiera que los logaritmos de los primos son cuadráticamente independientes sobre $\mathbb{Q}$, esto implicaría que $a = 2^n$, $b = 3^n$ para algún entero no negativo $n$; ¡pero como esto resolvería el notorio problema abierto Si $2^x $and $3^x$ son enteros, ¿debe $x$ serlo también?, alguien seguramente se habría dado cuenta hasta ahora!
Y tienes razón. Tal conexión sería notada: M. Waldschmidt, en "Colloquium De Georgi 2013 and 2014", p. 134.
Gracias por la referencia. Google no me permitiría buscarlo, pero hay una copia en PDF aquí. Desde la página 6: "Incluso no se ha probado la inexistencia de relaciones cuadráticas entre logaritmos de números algebraicos. Por ejemplo, la Conjetura de Schanuel implica que una relación como $\log\alpha_1\log\alpha_2=\log\alpha_3$ entre logaritmos no nulos de números algebraicos no es posible. Un caso especial sería la trascendencia del número $e^{\pi^2}$ - aún no se ha demostrado que este número sea irracional."
Por supuesto, la no existencia de relaciones cuadráticas entre logaritmos de números enteros puede en principio ser un problema mucho más fácil, al igual que en el caso lineal (cf. el teorema de Baker para el caso algebraico general). Sin embargo, hay otra observación: "Un caso muy especial [de la no existencia de relaciones cuadráticas homogéneas no triviales entre logaritmos de números algebraicos], que está aún abierto, es demostrar que si $t$ es un número real tal que $2^t$ y $3^t$ son enteros, entonces $t$ es un número entero".
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Es claro lo que quieres decir con el título, pero deberías corregir la ecuación ya que, por ejemplo, $\log(2)\log(3) - \log(3)\log(2) = 0$, lo cual no es interesante.
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@RicardoBuring Gracias por darte cuenta de esto. De hecho, la motivación de mi pregunta fue precisamente la implicación $a_{ij}=-a_{ji}$. La pregunta se ha editado para aclarar este punto.