Probabilidad de que THHT ocurra en una secuencia de 10 lanzamientos de monedas

Question

Supongamos que tenemos una moneda, y tiramos la moneda $10$ veces en una fila.

Quiero calcular la probabilidad de que la secuencia de 'la cola, cabeza, cabeza, cola' se produce.

Así que creo que puedo interpretar este evento como un número binario con $10$ dígitos. Por lo $1$ significa cola, $0$ significa cabeza. Por lo tanto, tenemos $2^{10} = 1024$ diferentes resultados de la $10$ tiros. La secuencia de 'la cola, cabeza, cabeza, cola' puede iniciar en $7$ diferentes posiciones y así hay $7\cdot2^6 = 448$ diferentes resultados de la $10$ tiros con la secuencia de 'la cola, la cabeza, la cabeza, la cola'. Por lo que la probabilidad sería de $\frac{448}{1024} = 0.4375$.

Pero tengo la sensación de que hay algo mal?

Answer 1

Usted puede usar la Inclusión-exclusión de principio a resolver esto. Cuando hago esto llego $$7\cdot 2^6 - 6\cdot 2^2 - 4\cdot 2^3+1$$ , donde el primer término es lo que usted consigue, donde el segundo y tercer términos contar el número de secuencias con dos que no se solapan los casos de T H H T y de secuencias con una superposición, como T H H T H H T, y, finalmente, el número de secuencias con un triple superposición, T H H T H H T H H T.

Confesión: yo antes consiguió $45\cdot2^2$ para el segundo término, por un mental metedura de pata, como AnnaSaabel señaló. Hay 2 "huecos" para separar a los dos instancias de THHT, que puede ocurrir antes, entre o después de las 2 instancias; pueden ser distribuidos en cualquiera de las 6 maneras 200,020,002,110,101, o 011.

Agregado: si el número de lanzar una moneda se $n=100$ (por ejemplo), y el patrón se buscaba era todavía THHT, este método se vuelve torpe. Un método diferente es el de construir una cadena de Markov con estados que representan una cadena de algoritmo de coincidencia ha avanzado en la adecuación del patrón dado. Si $M$ es la matriz de transición para esta cadena, la respuesta deseada es la entrada en la matriz $M^n$ corresponing a la par $(\text{start state}, \text{accepting state})$.

Answer 2

Como @kimchilover estados en los comentarios, usted cuenta con algunos de los 10 dígitos de los números binarios más de una vez en el número de $7\cdot 2^6$. Para hacer esto más evidente, considere la posibilidad de un problema diferente: para hallar la probabilidad de que la secuencia de 'jefes' aparece. Por su recuento de la lógica, hay 10 lugares para comenzar, por lo que no se $10\cdot 2^9$ diferentes resultados de los 10 tiros con la secuencia de 'jefes', por lo que la probabilidad sería de $\frac{10\cdot 2^9}{2^{10}} = 5$. Que no puede ser bueno. Es muy claro que el problema es overcounting-que tiene cinco veces la cantidad de secuencias con los 'jefes' en ellos, como el número de secuencias total! El problema es que nos han contado las secuencias con múltiples cabezas muchas veces. Por ejemplo, la secuencia de todas las cabezas se cuentan $10$ veces, una vez para cada uno de los lugares donde la secuencia de 'jefes' comienza dentro de ella.

Mientras escribo esto, veo que @kimchilover también acaba de publicar una respuesta a la pregunta que le dirige a la inclusión-exclusión principio, lo voy a dejar aquí con una respuesta que sólo podría ayudar a tratar la generalización de los argumentos que se sienten pescado para ver a dónde van mal. Buen trabajo en la detección de la fishiness!