Martingala que converge a cero.

Question

La pregunta es:

Deje $Y_1 , Y_2, \dots$ ser no negativo yo.yo.d. variables aleatorias con $\mathbb{E}Y_m = 1$ y $\mathbb{P} (Y_m = 1) < 1$. (i) demuestre que $X_n = \prod_{m \le n} Y_m$ define una martingala. (ii) el Uso de un argumento por contradicción para demostrar $X_n \to 0$.s.

(i) es fácil de comprobar. Para (ii), por Martingala Teorema de Convergencia, podemos demostrar que $X_n$ converge casi seguramente a algunos de $X$ con $\mathbb{E}X \le \mathbb{E}X_0 = 1.$ ($X_0$ no está definida explícitamente en la pregunta, pero para hacer $X_n$ una martingala, necesitamos $X_0 = 1$.)

Mi conjetura es que el $X = 0$ casi seguramente debe proviene del hecho de $\mathbb{P} (Y_m = 1) < 1$. Pero no puedo ver cómo continuar a partir de aquí.

Answer 1

¿Por qué un argumento por contradicción? Tenga en cuenta que$\log X_n$ es la suma de$n$ iid variables aleatorias con$m=\mathbb E(\log Y_1)$, por lo tanto, si$m\lt0$, por la ley fuerte de números grandes,$\log X_n\to-\infty$.

Pero$m\leqslant\log\mathbb E(Y_1)=0$ por la desigualdad de Jensen y uno sabe que esta desigualdad convexa es estricta tan pronto como la variable aleatoria$Y_1$ no es casi seguramente constante. Esto es lo que asegura la hipótesis$\mathbb P(Y_1=1)\lt1$. Por lo tanto,$m\lt0$,$\log X_n\to-\infty$ casi con seguridad, y$X_n\to0$ casi con seguridad.

Answer 2

La ley cero uno de Hewitt-Savage dice que$X$ es casi seguramente una constante. Además,$X=Y_1\cdot\prod_{i=2}^\infty Y_i$ tiene la misma distribución que$Y_1\cdot X$. Dado que$Y_1$ no es constante casi con seguridad, esto fuerza a$X=0$.