la métrica$d(a,b)=2\frac{|a-b|}{a+b},a,b>0$ satisface la desigualdad de triángulos

Question

¿Cómo mostrar que la métrica$d(a,b)=2\frac{|a-b|}{a+b},a,b>0$ satisface la desigualdad de triángulos? Es decir,$$d(a,b)+d(b,c)\geq d(a,c)$ $ para$a,b,c>0$ Mi pensamiento:$a$ y$c$ son simétricos, y podemos asumir$a<c$. Discuta los siguientes tres casos respectivamente:

• $b<a<c$
• $a<b<c$
• $a<c<b$

En cada caso, podemos quitar el símbolo absoluto y usar el método de fuerza bruta para mostrar la desigualdad.

¿Hay alguna manera elegante de probar esta igualdad?

Answer 1

Dejar $a\geq b\geq c$.

Por lo tanto,$$\frac{a-c}{a+c}-\frac{b-c}{b+c}=\frac{2c(a-b)}{(a+c)(b+c)}\geq0$ $ y$$\frac{a-c}{a+c}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2a(b-c)}{(a+b)(a+c)}\geq0.$ $ Por lo tanto, es suficiente para demostrar que$$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}\geq\frac{a-c}{a+c}$ $ o$$\sum_{cyc}\frac{a-b}{a+b}\geq0$ $ o$$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{\prod\limits_{cyc}(a+b)}\geq0,$ $ que es obvio.