¿Existen infinitos espacios métricos no equivalentes en ciertos conjuntos (?)

Question

Dos espacios métricos X e Y se denominan equivalentes si: $d_X (x,x_n) \to 0 \Leftrightarrow d_Y (x,x_n) \to 0 $ con $ n \to \infty $

Me pregunto si, si se toma un determinado conjunto (por ejemplo un conjunto finito, los números naturales, o cualquier otro, compacto, no compacto, completo, no completo...) si es posible construir infinitos espacios métricos diferentes, de manera que no haya dos equivalentes.

Answer 1

La respuesta depende únicamente de la cardinalidad del conjunto en cuestión: si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, siempre podemos transferir métricas de un lado a otro utilizando una biyección. Por tanto, las otras dos respuestas responden esencialmente a todos los casos: si el conjunto es finito, entonces sólo hay una clase de equivalencia; mientras que si el conjunto es infinito, hay infinitas.

Answer 2

El conjunto $\Bbb{Q}$ admite infinitas métricas no equivalentes: consideremos, por ejemplo, todas las $p$ -métricas de los ácidos, donde $p$ corre entre todos los números primos.

Answer 3

En un conjunto finito, $d_X(x, x_n)$ puede converger a $0$ si y sólo si existe $N\in\mathbb N$ tal que $x_n=x$ para todos $n>N$ .

Por lo tanto, según su definición de equivalencia, todas las métricas sobre un conjunto finito son equivalentes.