Función con raíces en $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$ ?

Question

Estoy buscando una función $~f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ con $$ f\left(\frac{1}{k}\right) = 0 ~\forall k\in\mathbb{N}. $$ Esta función tiene que ser suave ¡!

Primera aproximación: He intentado $f(x) = \sin(\pi/x)$ . Esto funciona, sin embargo, esta función no es suave (en lo que a mí respecta?).

Contexto: El objetivo general es encontrar dos funciones $f,g$ tal que $f\neq g$ pero $f(1/k) = g(1/k) ~\forall k\in\mathbb{N}$ .

EDITAR: Suave significa $f\in C^\infty$ . $~f$ tiene que estar definida al menos en $(0,1]$ .

Answer 1

Utilizando la función $e^{-1/x^2}$ para $x \ne 0$ y $0$ si $x = 0$ obtenemos una función que es $C^{\infty}$ y apoyado en $[0, \infty)$ . Multiplicando esto por un desplazamiento y volteo de la función, podemos construir fácilmente una función que sea $C^{\infty}$ y sólo se admite en $[0, 1]$ , dando un función de choque .

Suma de traslaciones y dilataciones de así localizadas a los intervalos $[1/2, 1]$ , $[1/3, 1/2]$ , $[1/4, 1/3]$ y así sucesivamente da un ejemplo de una función cuyos ceros en $[0, 1]$ son sólo en los puntos $1, 1/2, 1/3, ...$ .

Answer 2

¿Qué pasa con $x^4\sin(\pi/x)$ ? Esto debería funcionar.

Answer 3

Dejemos que $g(x)=\exp(-\frac1{x-1})$ para $x>1$ y $g(x)=0$ para $x\le 1$ . Esto satisface automáticamente $g(1/k)=0$ ya que $1/k\le 1$ . Para una prueba de que $g$ es suave, véase

https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function#The_function_is_smooth

Tenga en cuenta que mi función $g$ es un desplazamiento de la función de Wikipedia $f$ es decir $f(x)=g(x+1)$ .