Determinar que un vector está en el espacio de la columna de una matriz.

Question

Necesito hep con el siguiente problema.

Trabajaremos solo en$\mathbb{F}_2$. Digamos que$A$ es una matriz simétrica con su diagonal principal que consiste solo en$1$ s. Necesito demostrar que$1$ (el vector con todos unos) está en el espacio de la columna (o espacio de fila como es simétrico) de$A$.

Cualquier ayuda es apreciada, gracias.

Answer 1

Digamos que$A$ es$n\times n$. Como es simétrico, se puede descomponer en la forma de$X^\top X$ para algunos$m\times n$ matrix$X$ con rango de fila completo (es decir, rango$m$). Como$X$ tiene rango completo y$m\le n$, como operador lineal,$X$ está en. Por lo tanto, existe un vector$u$ tal que$Xu=\mathbf1_m$, el vector todo en uno. Sin embargo, como todas las entradas diagonales de$A$ son iguales a$1$, cada columna de$X$ debe tener paridad impar. Por lo tanto,$X^\top\mathbf1_m=\mathbf1_n$ y, a su vez,$Au=X^\top Xu=\mathbf1_n$.