¿Cómo puedo resolver esta ecuación integral en términos de polinomios de Hermite?

Question

Se debe probar que la solución de la ecuación integral$$f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x-t)^2} g(t)dt$ $ es$$g(x)=\frac{1}{\sqrt{}\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{2^nn!} H_n(x)$ $

donde los$H_n(x)$ son los polinomios de Hermite.

Answer 1

Usted puede empezar por el taponamiento de la serie en el lado derecho de la definición de $g(x)$, o más bien $g(t)$, en la expresión en el lado derecho de la $f(x)$. El intercambio de la suma y la integral, y a ver lo que parece el comienzo de la serie de Maclaurin de expansión para $f(x)$. (Su notación ya se supone $f$ es infinitamente diferenciable.) Entonces es suficiente para mostrar que $$ x^n=\frac{1}{2^n\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^\infty\exp(-(x-t)^2)H_n(t)\, dt, $$ así como justificar el intercambio de la suma y la integral.