Dado $\frac{\log x}{b-c}=\frac{\log y}{c-a}=\frac{\log z}{a-b}$ demostrar que $x^{b+c-a}\cdot y^{c+a-b}\cdot z^{a+b-c} = 1$

Question

Dada:

$$\dfrac{\log x}{b-c}=\dfrac{\log y}{c-a}=\dfrac{\log z}{a-b}$$

Tenemos que demostrar que :

$$x^{b+c-a}\cdot y^{c+a-b}\cdot z^{a+b-c} = 1$$

Hice tres ecuaciones utilizando la multiplicación cruzada :

$$1.x^{c-a}=y^{b-c}$$ $$2.y^{a-b}=z^{c-a}$$ $$3.~~z^{b-c}=x^{a-b}$$

¿Cómo debo proceder a partir de ahora? Si multiplico las ecuaciones, una variable se aleja de los exponentes.

Gracias.

Answer 1

Tenemos $$\dfrac{\log(x)}{b-c} = \dfrac{\log(y)}{c-a} = \dfrac{\log(z)}{a-b} = t$$ Esto nos da $$x=e^{t(b-c)}, y = e^{t(c-a)} \text{ and }z = e^{t(a-b)}$$ Por lo tanto, \begin{align} x^{b+c-a}\cdot y^{c+a-b} \cdot z^{a+b-c} & = e^{t\left((b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b) + (a-b)(a+b-c)\right)}\\ & = e^{t(b^2-c^2-ab+ac + c^2 - a^2 -bc + ba + a^2 - b^2 - ac + bc)} = e^0 = 1 \end{align}

Answer 2

Si quieres utilizar tus ecuaciones, aquí tienes un método.

Multiplicando las ecuaciones entre sí, obtenemos: $$x^{c-a}y^{a-b}z^{b-c}=y^{b-c}z^{c-a}x^{a-b}$$ que da después de la reordenación: $$x^{b+c-a}y^{c+a-b}z^{a+b-c}=x^a y^b z^c$$ Por lo tanto, basta con demostrar que $x^a y^b z^c = 1$ .

Sus ecuaciones primera y tercera dan $y = x^{\frac {c-a}{b-c}}, z = x^{\frac{a-b}{b-c}}$ . Esto nos da: $$x^a y^b z^c = x^a x^{\frac {c-a}{b-c}\times b} x^{\frac{a-b}{b-c}\times c} = x^{a + \frac{bc-ba+ca-bc}{b-c}} = x^{a-a} = x^0 = 1 $$

QED.

Answer 3

Dada: $$\dfrac{\log x}{b-c}=\dfrac{\log y}{c-a}=\dfrac{\log z}{a-b}=\lambda$$ que tenemos: $$ x = e^{\lambda(b-c)},\quad y=e^{\lambda(c-a)},\quad z=e^{\lambda(a-b)}, $$ por lo tanto: $$x^{b+c-a}\cdot y^{c+a-b}\cdot z^{a+b-c} = \exp\left(\lambda\cdot\sum_{cyc}\left(b^2-c^2-a(b-c)\right)\right)=\exp(0)=1.$$

Answer 4

Sugerencia

Si tiene que demostrar que $$x^{b+c-a}\cdot y^{c+a-b}\cdot z^{a+b-c} = 1$$ tomar logaritmos de ambos lados significa que hay que demostrar que $$(b+c-a)\log(x)+(c+a-b)\log(y)+(a+b-c)\log(z)=0$$ Ahora, usa lo que respondieron el usuario17762 y Jack D'Aurizio.

Answer 5

$\dfrac{\log x}{b-c}$ es igual a $\log\left(x^{1/(b-c)}\right)$ independientemente de cuál sea la base del logaritmo. Por lo tanto, tenemos $$ \log\left(x^{1/(b-c)}\right) = \log\left(y^{1/(c-a)}\right) = \log\left(z^{1/(a-b)}\right). $$ Como la función logaritmo es uno a uno, esto implica $$ x^{1/(b-c)} = y^{1/(c-a)} = z^{1/(a-b)}. $$ Levantando ambos lados de $x^{1/(b-c)} = y^{1/(c-a)}$ al poder $(b-c)(c-a)$ rinde $$ x^{c-a} = y^{b-c} $$ y las otras dos igualdades se derivan de forma similar.