$a^2=b^3+bc^4$ no tiene soluciones en enteros distintos de cero

Question

este problema es del libro de teoría de números,

$$a^2=b^3+bc^4$ $ no tiene soluciones en enteros distintos de cero

Esta sugerencia de libro: primero muestra que$b$ debe ser un cuadrado perfecto. ¿Y cómo hacerlo?

Answer 1

Obviamente, $(1,1,0)$ es una solución.

Answer 2

Hizo el libro en lugar de decir que no había solución en productos naturales?

Tenga en cuenta que $a^2 = b(b^2+c^4)$. A continuación, $b$ debe ser un cuadrado perfecto (como el libro de sugerencias). Deje $b = d^2$. Nosotros también debemos tener $d^4+c^4 = a^2$, lo cual es imposible por Último Teorema de Fermat en números naturales. La prueba de esto es bastante estándar y consiste simplemente golpear la fórmula de Ternas Pitagóricas y el logro de Infinito Descenso y se puede encontrar aquí.

Si dejamos $c=0$ tenemos la solución a $(1,1,0)$ y si dejamos $b=0$ tenemos la solución a $(0,0,x)$ cualquier $x$.

Hay soluciones como $(1,1,0)$ que son parte integral de las soluciones.

Answer 3

Está claro que $b\ge 0$. Supongamos $b\gt 1$, y deje $p$ ser un primo que divide a $b$. Deje $p^k$ ser el más alto poder de $p$ que divide $b$.

Hay $2$ de los casos. Si $p$ no divide $c$, entonces a partir de la $p^{3k}$ divide $b^3$, se deduce que el mayor poder de $p$ que divide $a^2$$p^k$, lo $k$ es incluso.

Si $p$ divide $c$, el más alto poder de $p$ que divide $bc^4$ $k+4t$ algunos $t$. Si $3k\ne k+4t$, el más alto poder de $p$ que divide $a^2$ $p^u$ donde $u=\min(3k, k+4t)$. Si $k$ es impar, entonces $u$ es extraño, imposible.

Por último, supongamos $3k=k+4t$. A continuación,$2k=4t$, lo $k$ debe ser par.