límite de descarga

Question

Tengo que encontrar el límite$${\lim_{x \to 49} \frac{\sqrt{x}-7}{x-49} }.$ $

Sé que no puedo conectar$49$ porque eso haría que el denominador$0$. Me dijeron que racionalizara el numerador y lo hice. Esto es lo que hice, pero obtuve la respuesta incorrecta:$$\dfrac{\sqrt{x}-7}{x-49}\times\dfrac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+7}.$ $ Lo multiplicé y obtuve$$\dfrac{x-49}{x\sqrt{x}+7x-49\sqrt{x}+343}.$$ Now when I plugged in $ 49$, the limit came out as $ 0 $ pero fue incorrecto. ¿Me estoy perdiendo un paso o hice algo mal? Lo repasé un par de veces y no puedo entender mi error.

Answer 1

¡Tan cerca! Realmente hiciste demasiado trabajo. Si deja el denominador como está, obtiene $$ \ dfrac {x-49} {(x-49) (\ sqrt {x} +7)} = \ dfrac {1} {\ sqrt {x} +7} $$

que luego puede tomar el límite de.

Answer 2

Dejar $\sqrt{x}=y$. Entonces estamos mirando$\displaystyle\lim_{y\to 7}\frac{y-7}{y^2-49}$. ¿Familiar?

Answer 3

$$ \begin{align} \lim_{x\to 49}\frac{\sqrt{x}-7}{x-49}=&\lim_{x \to 49}\frac{(\sqrt{x}-7)}{x-49}\frac{(\sqrt{x}+7)}{(\sqrt{x}+7)}\\ &=\lim_{x \to 49}\frac{(\sqrt{x})^2-7^2}{x-49}\frac{1}{(\sqrt{x}+7)}\\ &=\lim_{x \to 49}\frac{x-49}{x-49}\frac{1}{(\sqrt{x}+7)}\\ &=\lim_{x \to 49}\frac{1}{\sqrt{x}+7}\\ &=\frac{1}{14} \end {align} $$

Answer 4

Si has aprendido la regla de L'Hôpital , sabes que esto se reduce a:

PS