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¿Es A∨¬A una tautología cuando hay una prueba (por contradicción)?

$A \lor \neg A$ se declara como una "tautología", pero ¿es realmente una tautología? Puede comprobarse por contraposición. Y por lo tanto no es una tautología cuando se puede probar (?)

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Aquí está la prueba (por contradicción) quiero decir:

 ¬(A∨¬A) (assumption)
   A      (assumption)
   A∨¬A  (rule of introduction)
  人      (contradiction)
 ¬A
 A∨¬A   (rule of introduction)
 人      (contradiction)
¬¬(A∨¬A)
A∨¬A
 

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jmans Puntos 3018

$A\vee \neg A$ es una tautología en la clásica (es decir, Aristóteles) lógica porque se puede demostrar que el uso de la deducción de las reglas de la clásica propuesta de cálculo no importa lo que el valor de verdad de $A$ es, el valor de verdad de $A\vee \neg A$ siempre es cierto. Ese es el significado de la tautología.

No clásicos sistemas lógicos, tales como intuitionism o el constructivismo, $A \vee \neg A$ no es una tautología. De ahí la interpretación de $P \vee Q$ no es "P o Q es verdadera", sino la más constructiva "tengo una prueba de P o tengo una prueba de Q". Un famoso ejemplo para ilustrar esto es el siguiente: Teorema: existen dos números irracionales $a,b$ tal que $a^b$ es racional. Una clásica prueba puede ir de esta manera: si $\sqrt2 ^\sqrt2$ es racional que se hacen. Otra cosa, considere la posibilidad de $(\sqrt2^{\sqrt2})^{\sqrt2}=\sqrt2^2=2$, un racional. Clásicamente esto termina la prueba, pero de manera constructiva no es una prueba válida, ya que no muestran en realidad que uno de los dos candidatos obras.

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Andreas Blass Puntos 33024

Parte del problema aquí puede ser que "tautología" tiene mucho más significado específico en la lógica matemática que en el uso ordinario. El más significado específico es "una declaración de que siempre es cierto, únicamente sobre la base de cómo se construye a partir de pequeños declaraciones por medio de las conectivas proposicionales y los significados (tablas de verdad) de las conectivas". Por lo $A\lor\neg A$ es una tautología porque es cierto únicamente a causa de los significados de $\lor$$\neg$. Pero $1=1$ no es una tautología, porque su verdad no depende del significado de $=$, que no es un proposicional conectivo. Del mismo modo, si $P$ es un predicado unario, a continuación,$P(a)\to(\exists x)\,P(x)$, aunque lógicamente válido, no es una tautología, porque su validez depende de los significados de ambos $\to$$\exists$, el último de los cuales no es proposicional conectivo.

De ordinario, no el uso de técnicas, "tautología" significa (según mi diccionario) diciendo lo mismo en diferentes palabras; he oído que se utiliza más generalmente para significar algo que es obviamente cierto. Por lo que todos los ejemplos en mi primer párrafo sería tautologías en este sentido.

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SilverbackNet Puntos 740

Intenta construir una tabla de verdad y verás que en realidad es una tautología.

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