Soy un estudiante de 12º grado. Me interesa la teoría de los números y estoy buscando temas para investigar.
¿Puede sugerir algunos temas de la teoría de los números y en general que constituyan un buen proyecto de investigación?
He estudiado por mi cuenta algunos temas de Álgebra Abstracta y Teoría de Números. Me fascinan los primos (como a la mayoría de la gente).
Preferiblemente, sugiera algunos problemas inexplorados para que se puedan obtener nuevos resultados.
Gracias.
NOTA El PO no ha dicho " Preferiblemente, sugiera algunos problemas abiertos para que se puedan obtener nuevos resultados". cuando se respondió a esto.
Puedo proporcionarle la Teoría Elemental de Números de Burton. Tiene una serie de introducciones históricas y grandes ejemplos que probablemente te valdrán para un proyecto de investigación. Tiene información y obviamente teoría sobre resultados de Fermat, Euler, Diophantus, Wilson, Möbius y otros. También puedo facilitarte los tres volúmenes de la Historia de la Teoría de Números, que pueden ser una gran fuente.
Algunos ejemplos son
El pequeño teorema de Fermat Si $p\not\mid a$ entonces $$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$$
Teorema de Wilson Si $p$ es un primo, entonces
$$({p-1})! \equiv -1 \mod p$$
Fórmula de inversión de Möbius Si tenemos dos funciones aritméticas $f$ y $g$ tal que
$$f(n) = \sum_{d \mid n} g(d)$$
Entonces
$$g(n) = \sum_{d \mid n} f(d)\mu\left(\frac{n}{d}\right)$$
Dónde $\mu$ es la función de Möbius.
Quizás tan interesante como el anterior,
El $\tau$ y $\sigma$ funciones
Dejemos que $\tau(n)$ sea el número de divisores de $n$ y $\sigma(n)$ su suma. Entonces, si $$n=p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}$$
$$\tau(n)=\prod_{m=1 }^k(1+l_m)$$
$$\sigma(n)=\prod_{m=1 }^k \frac{p^{l_m+1}-1}{p-1}$$
La identidad de Legendre
La multiplicidad (es decir, el número de veces) con que $p$ divide $n!$ es
$$\nu(n)=\sum_{m=1}^\infty \left[\frac{n}{p^m} \right]$$
Por muy impar que parezca, el argumento es en cierto modo sencillo. La multiplicidad con la que $p$ divide $n$ es $\left[\dfrac{n}{p} \right]$ , para $p^2$ es $\left[\dfrac{n}{p^2} \right]$ y así sucesivamente. Para obtener la de $n!$ sumamos todos estos valores para obtener lo anterior, ya que cada uno de $1,\dots,n$ se cuenta $l$ veces como múltiplo de $p^m$ para $m=1,2,\dots,l$ , si $p$ lo divide exactamente $l$ tiempos. Obsérvese que la suma terminará porque la función de menor número entero $[x]$ es cero cuando $p^m>n$ .
Números perfectos
Un número se llama número perfecto es la suma si sus divisores son iguales al número, esto significa
$$\sigma(n) =2n$$
Euclides demostró que si $p=2^n-1$ es un primo, entonces $$\frac{p(p+1)}{2}$$ es siempre un número perfecto
Euler demostró que si un número es perfecto, entonces es del tipo de Euclides.
$n$ - números agonales o figurados .
Los griegos estaban muy interesados en los números que podían descomponerse en figuras geométricas. Los números cuadrados son bien conocidos por nosotros, a saber $m=n^2$ . ¿Pero qué pasa con los números triangulares o pentagonales?
Se han encontrado fórmulas explícitas, a saber
$$t_n=\frac{n(n+1)}{2}$$
$$p_n=\frac{n(3n-1)}{2}$$
Puedes intentar, como un buen ejercicio de olimpiada, demostrar lo siguiente:
$${t_1} + {t_2} + {t_3} + \cdots + {t_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}$$
Podemos disponer los números en un pentágono como un triángulo y un cuadrado:
$${p_n} = {t_{n - 1}} + {n^2}$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
