Algunas preguntas sobre el primero (o segundo) contable.

Question

Dado $X$ ser un espacio topológico (o tal vez un grupo topológico), tengo curiosidad por saber es no una más gruesa o más fina que la topología de $X$ o algunos cociente del espacio de que se convierta en la primera (o segunda) contable.

Hay algo como esto? "primer (o segundo) countablization"?

Por ejemplo, supongamos $G$ ser un no-localmente compacto grupo compacto, y su "primer (o segundo) countablization" también es localmente compacto grupo compacto?

Si este concepto no existe, puede alguien dar alguna intuición para explicar por qué? Algo así como "Si intenta comprobar la existencia de "primer (o segundo) countablization" por el lema de zorn, se encontrará con algunas ... problema."?

Más precisamente, me caracterizar este concepto universal de la propiedad: Deje $X$ ser un espacio topológico, y $\widetilde{X}$ ser el primero (o segundo) countablization de $X$, entonces dado cualquier $Y$ ser el primero (o segundo) contable con un mapa continuo $\phi:X\to Y$, $\phi$ factor a través de $\widetilde{X}$.

Answer 1

Supongo que por "primera (o segunda) countablization" te refieres a la contigüidad.

Se puede mostrar que los productos en la categoría de primera (o segunda) contables espacios son el producto regular. Por lo tanto, ya que los productos de primera (o segunda) contables espacios son, en general, no es la primera (o segunda) contable debe haber ningún derecho razonable functor adjunto. (Derecho adjoints preservar productos)

En el caso de la izquierda adjoints fácilmente puede descartar la segunda contables ya que no hay oportunidad para que los distintos sindicatos para ser de segunda contables. Por primera contables de los espacios en $\Bbb R/ \Bbb N$ (colapso $\Bbb N$) que es un coequalizer, por lo tanto el "primer countablization" $\Bbb R$ puede no ser $\Bbb R$ desde $\Bbb R/ \Bbb N$ no es la primera contables. Desde que tendrá como funciones la primera contables espacios agradables propiedades de separación de $\Bbb R$ se pierden. Un functor, si existe, no sería agradable.

Andreas comentario también descarta el uso de Zorns lema en la mayoría de los casos, ya que fácilmente pueden construir cadenas sin máximo de elementos.