$P_{1c} = AP$,$P_{2c} = BP$. Como encontrar $P$? (siendo que$A$ y$B$ son$3\times 4$ matrices y$P$ es un vector$4\times 1$)

Question

Este problema surgió en mi visión estéreo proyecto. $$ P_{1c} = a*P $$

$$ P_{2c} = B*P $$ donde: $P_{1c}$ $P_{2c}$ $3\times1$ vectores, $A$ $B$ $3 \times 4$ matrices y $P$ $4\times1$ vector.

O, más muestra un:

$$ \left( \begin{array}{ccc} a_1 \\ b_1 \\ w_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & A_{34} \\ \end{array} \right) * \left( \begin{array}{ccc} X \\ Y \\ Z \\ 1 \\ \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{ccc} a_2 \\ b_2 \\ w_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} B_{11} & B_{12} & B_{13} & B_{14} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} & B_{24} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} & B_{34} \\ \end{array} \right) * \left( \begin{array}{ccc} X \\ Y \\ Z \\ 1 \\ \end{array} \right) $$ $P_{1c}, P_{2c}, A$ $B$ son conocidos, encontrar $P$.

Una solución explícita es un buen comienzo, y de hecho ya tengo:

(Solución explícita - página 6)

pero a partir de la naturaleza del problema, puedo decirte que no siempre será posible encontrar $P$ el uso de la solución explícita (ya que sólo tienen estimaciones para$P_{1c},P_{2c},A$$B$), por lo que yo estaba tratando de abordar el problema como este:

$f(P) = (A*P-P_{1c})^2+(B*P-P_{2c})^2$

Minimizar $f(P)$ con respecto al $P$.

Creo que esta notación no es tan riguroso como sería de esperar, ya que $P$ es un vector. Así, para decirlo de otra manera:

Sabiendo $P_{1c},P_{2c},A$$B$, hallar el vector $P$ que da el "mejor ajuste" a $$ P_{1c} = a*P $$

$$ P_{2c} = B*P $$ (en un sentido de los mínimos cuadrados).

Cualquier ayuda sería genial, y por favor, siéntase libre de acercarse a este problema con una estrategia diferente que la que estoy tratando, pero agradecería que si alguien puede responder a esto sin la "apertura" de las matrices (en lugar de usar el $A_{ij}$'s de trabajo y con la explícita de las ecuaciones, sólo el uso de las matrices y operaciones de matriz como $A^T, A^{-1}$), si eso es aún posible.

Espero que me hice claro, muchas gracias de antemano!

Answer 1

Usted tiene una ecuación de matriz:

$$\pmatrix{P_{1c} \\ P_{2c}} = \pmatrix{A \\ B}\cdot P \tag{1}$$

Es un sobredeterminada sistema (a menos que hay demasiadas dependencias en los datos).

Aquí es lo que usted desea para la solución de mínimos cuadrados:

$$P=\left[\pmatrix{A^\top & B^\top}\pmatrix{A \\ B}\right]^{-1}\pmatrix{A^\top & B^\top}\pmatrix{P_{1c} \\ P_{2c}}$$

Hay métodos que son más eficientes que esta fórmula explícita aquí, que evita el cálculo adicional de cuadrar, a continuación, invertir. Usted puede notar que tengo esta usando lo que se llama una izquierda inversa de a $\pmatrix{A \\ B}$ en la ecuación (1). Posiblemente hay más de uno a la izquierda inversa en general, pero esta es la específica de la izquierda inversa que da la solución de mínimos cuadrados.

Deje $M = \pmatrix{A \\ B}$. El uso de user7530 del comentario útil, puede ser factorizado como $M=QR$, que es un formulario estándar disponibles en cualquier paquete de computadora, llamado simplemente el de la factorización QR. Voy a mostrar cómo utilizar el formulario más adelante, pero primero la derivación de la fórmula que me dio.

Para resolver por $P$ en la ecuación $$X= MP \tag{2}$$ where $M$ has more rows than columns, consider a left inverse $\hat{M}$ such that $\hat{M}M=I$. At first glance, assuming the existence of $\hat{M}$, esta parece ser la solución ya que da $$\hat{M}X = \hat{M}MP = IP = P$$ and $$P=\hat{M}X$$ gives the solution. But the left inverse may not be unique. So the question is which left inverse do we want. Consider equation (2). We are looking for some $P$ to solve it, but it may not be possible. So instead we look at the closest possible solution. Any $P$ when right multiplied with $M$ will necessarily give a result that is in the column span of $M$, since a right multiply can only mix the columns of $M$. Esto, junto con una cara inversas, resulta ser de todas las consideraciones necesarias para encontrar la solución única.

Puesto que el resultado de $\hat{M}X$ debe tener la misma columna útil como $M$, esto le da un único $\hat{M}$ y es

$$\hat{M} = \left[M^\top M\right]^{-1}M^\top$$

El uso de la factorización QR, tenemos $M=QR$. Entonces \begin{align} P&=\hat{M} X \\ &= \left[M^\top M\right]^{-1}M^\top X\\ & = \left[R^\top Q^\top Q R\right]^{-1} M^\top X\\ & = \left[R^\top R\right]^{-1} M^\top X\\ \end{align}

Donde la última línea no es más fácil de calcular ya que $R$ es triangular con cero filas.