"Los vectores no son realmente números" - ¿qué tan acertada es esa afirmación?

Question

Desde que aprendí por primera vez sobre vectores, me di cuenta de algo interesante: casi cualquier fórmula numérica puede ser reemplazada por una fórmula vectorial simplemente reemplazando la suma, multiplicación, etc., con sus versiones vectoriales a nivel de elemento. Por ejemplo:

average a b = (a + b) / 2

no solo calcula el promedio de 2 números, sino el punto medio entre 2 vectores si utilizas la adición a nivel de elementos. En Cálculo, muchas fórmulas para integrales pueden extenderse a integrales triples, cuádruples sin cambios de la misma manera. Aún más interesante, algunas fórmulas ganan una generalidad dimensional al hacerlo.

distance a b = modulus (a - b)

Esa fórmula se aplica a números, devolviendo su diferencia, pero también funciona para cualquier vector en n dimensiones, devolviendo su distancia en n dimensiones. Incluso fórmulas complicadas como:

intersectAABB (Ray r_pos r_dir) (AABB aabb_min aabb_max) 
    = [tmin, tmax] where
        t1   = (aabb_min - r_pos) / r_dir
        t2   = (aabb_max - r_pos) / r_dir
        tmin = foldr1 max (liftI2 min t1 t2)
        tmax = foldr1 min (liftI2 max t1 t2)

obtienen el mismo beneficio. En este caso, intersectAABB, utilizado con números, devuelve la distancia de intersección entre una línea y un segmento. Utilizado con vectores 2D, devuelve las distancias de intersección entre una línea y un rectángulo. Con vectores 3D, las distancias de intersección entre una línea y un cuboide. Y así sucesivamente.

Todo eso me lleva a creer que tiene mucho sentido usar vectores de la misma manera que los números. Mi pregunta es: ¿por qué nadie lo está haciendo? ¿Por qué se considera que dot y cross son la versión vectorial de la multiplicación cuando en su mayoría son operaciones completamente diferentes? ¿Hay algún caso donde usar vectores en lugar de números deje de tener sentido?

Answer 1

En lo que respecta a la suma y resta, los vectores se comportan igual que cualquier noción de número que te importe mencionar. Pero la multiplicación elemento por elemento es más complicada: el problema de la división por cero se convierte en la división por vectores con alguna entrada igual a cero, por ejemplo. Más importante aún, hay menos usos para la multiplicación elemento por elemento que para el producto punto y el producto cruz. Estos últimos tienen significados físicos y geométricos que aquel carece. Esa es la razón más importante por la que las usamos más.

Answer 2

Generalmente, la palabra "número" debe referirse no a un solo objeto, sino a un conjunto. Entonces, podrías decir que el conjunto es un conjunto de "números" si puedes sumar y multiplicar cualquier par de elementos del conjunto para obtener un tercer elemento del conjunto, satisfaciendo ciertas relaciones (distributividad, asociatividad, ... etc). Ten en cuenta que esta definición se basa en poder sumar dos números en el conjunto, por lo que cualquier elemento individual del conjunto realmente no puede ser llamado un número sin hacer referencia al "conjunto de números" ambiente. Como tal, un conjunto de números así "definido" en realidad es solo un anillo (o si es especialmente agradable, es un campo).

De manera similar, la palabra "vector" no debe referirse a un solo objeto, sino nuevamente a un conjunto. Es decir, un conjunto es un "espacio vectorial" sobre algún campo $K$ si satisface los axiomas de un espacio vectorial (ver la definición de espacio vectorial en Wikipedia).

Ten en cuenta que un campo $K$ en sí mismo satisface los axiomas de un espacio vectorial, por lo que los elementos de $K$ pueden considerarse números, y vectores. Esto se vuelve especialmente útil en el estudio de extensiones de campo $L/K$, donde ahora $L$ es un espacio vectorial multidimensional sobre $K$, por lo que los elementos de $L$ son tanto números como vectores.

De todos modos, la respuesta a tu pregunta, según lo veo, es que las definiciones/conceptos típicos de números y vectores son simplemente diferentes. Un anillo a veces es un espacio vectorial (si contiene un campo), y de lo contrario no lo es. De manera similar, un espacio vectorial generalmente no es un anillo/campo, porque no siempre puedes multiplicar vectores, pero algunos espacios vectoriales sí. En otras palabras, número vs vector no es como la diferencia entre una manzana y una naranja. Números vs vectores son más como "personas altas" vs "personas delgadas". Alguien puede ser alto, delgado, ambos o ninguno.

Answer 3

Su pregunta menciona la suma y resta, y muestra analogías entre la suma y resta de números por un lado y la suma y resta de vectores por otro lado.

Pero los números, como se entienden generalmente, tienen más operaciones y relaciones que solo la suma y la resta. Por ejemplo, los números tienen una relación de orden binaria, y el orden sigue leyes como

1. $a
2. $a

Los vectores, en general, no tienen una relación de orden como esa. Entonces, los vectores no son realmente números.

Answer 4

Una forma de ver que los vectores 'son números' es seguir la evolución del concepto -o se podría decir que su genealogía que no pretende ser una historia precisa pero articula una importancia matemática.

Ahora, comenzando desde los enteros positivos se pueden cerrar bajo la adición para obtener los enteros; y luego bajo la multiplicación para obtener los racionales -pero esto tiene 'lagunas'; por lo tanto los completamos incluyendo los irracionales que nos dan los números reales.

Entonces entramos al ámbito de la geometría al observar que esto es simplemente la línea recta (real), pero existen objetos geométricos como planos y volúmenes de los cuales descubrimos la noción de dimensión; y así 'completamos' por dimensión para llegar a la noción de un espacio vectorial n-dimensional.

Vale la pena mencionar que el producto interno o escalar se generaliza a dimensiones arbitrarias de manera obvia; pero el producto cruzado no, al menos no directamente; el concepto correcto que lo reemplaza es el producto exterior.

Answer 5

Los vectores no son números, las diferencias son mucho más importantes que las similitudes.

• Los vectores no representan cantidades como los números, sino direcciones. Mientras que los matemáticos definen los vectores de manera más abstracta como cualquier lista de números (tuplas), los físicos son más estrictos: Cada componente de un vector tiene la misma dimensión y puedes mover (trasladar y rotar) un vector aplicando matrices rotacionales y traslacionales (estos son objetos bidimensionales, también se pueden ver como vectores de vectores). Un número es adimensional, no se puede usar para modelar direcciones o rotaciones.

• No se puede dividir por un vector. Lo que se llama multiplicación para los números es escalamiento para los vectores y debido a esta parte de dirección/rotación, existen operaciones llamadas "multiplicación" que modelan precisamente esto. (No agrego el producto de cuatro vectores aquí).

  • Producto escalar: Tienes dos vectores y quieres saber si están en la misma dirección. Aplicar el producto escalar te da un número (!) como resultado de dos vectores y devuelve un valor en el rango de -(longitud del vector) a (longitud del vector). Si es 0, los dos vectores son perpendiculares; este es también un caso diferente de los números. Si ninguno de los dos es cero, entonces a*b no puede ser cero si a y b son números; esto no ocurre con los vectores. También permite que una matriz pueda multiplicarse con un vector para obtener otra matriz.

  • Producto cruz: Tienes dos vectores y quieres obtener un vector que sea perpendicular a los dos vectores dados. La longitud del vector resultante depende de qué tan perpendiculares sean los dos vectores entre sí. Si son perpendiculares entre sí, entonces la longitud será el producto de sus longitudes, si son iguales, el vector resultante se anula (lógicamente: Ya no hay posible perpendicularidad).

  • Producto diádico: Crea una matriz a partir de dos vectores. Una explicación de lo que hace sería larga. No hay números involucrados en absoluto, así que no es interesante.

Lo realmente interesante: Si combinas números, el resultado siempre es indefinido o un número en sí mismo. No es así con los vectores: El resultado puede ser un número, un vector o una matriz.