Digamos que dos subconjuntos de $\mathbb{R}$ son equivalentes si son homeomorfas, con la topología del subespacio. ¿Cuántas clases de equivalencia hay?
Es inmediato que haya al menos $\beth_0$ (podemos obtener cualquier topología discreta finita) y no más de $\beth_2 = \mathcal{P}(\mathbb{R})$ . Tengo una construcción semi-compleja a continuación para mostrar que hay al menos $\beth_1$ .
Sin la hipótesis del continuo generalizado, esta cuestión parece más difícil y posiblemente independiente. Me interesaría una respuesta que asumiera la hipótesis del continuo y, por lo tanto, respondiera a una de las dos cosas siguientes $\beth_1$ o $\beth_2$ .
No compliquemos demasiado las cosas, pero también podríamos hacer esta pregunta en $S^1$ y $\mathbb{R}^2$ : on $S^1$ la construcción de abajo no funciona, y en $\mathbb{R}^2$ es mucho más fácil.
Construcción de $\beth_1$ subconjuntos no homomórficos: La idea es que ser un punto límite, o ser un punto límite de puntos límite, o ser un punto límite de puntos límite de puntos límite... son propiedades topológicas. Para un conjunto dado $A \subset \mathbb{R}$ , llamar a un punto
- A $P_0$ punto si está en $A$ .
- A $P_n$ si es el punto límite de $P_{n-1}$ puntos.
- A $Q_n$ punto si se trata de un $P_n$ punto, pero no un $P_{n+1}$ punto.
- A $R_n$ punto si se trata de un $Q_n$ punto y cada vecindad del punto (en A) es incontable.
La existencia de un $R_n$ es un invariante topológico. Afirmo que para cualquier $J \subset \mathbb{N}$ es posible crear $A \subset \mathbb{R}$ que tiene un $R_n$ si y sólo si $n \in J$ .
Para motivar la construcción y la definición de $Q_n$ primero piensa en construir un $P_n$ punto. Por ejemplo, el conjunto $\{0\} \cup \{ 1/k : k \in \mathbb{N} \}$ tiene $0$ como $P_1$ punto. Ahora, añade algunos puntos a ese conjunto: en cada intervalo $(1/(k+1), 1/k)$ añade una secuencia de puntos que limita con $1/(k+1)$ . Entonces
- Los puntos que acabamos de añadir son $P_0$ puntos.
- Para cada $k$ el punto $1/k$ es un $P_1$ punto y un $P_0$ y, por tanto, un $Q_1$ punto pero no un $Q_0$ punto.
- 0 es un $P_2$ punto, un $P_1$ punto, y un $P_0$ punto. Por lo tanto, es un $Q_2$ punto.
Ahora bien, sería más sencillo si no necesitáramos el $R_n$ definición. Pero como ves, no podemos hacer una $Q_n$ punto sin hacer también un $Q_{n-1}$ punto. Consideremos ahora la adición del intervalo $(-1, 0)$ al conjunto que hemos construido hasta ahora. El sitio $0$ sería un $R_2$ punto, pero no habría $R_1$ o $R_0$ puntos.
Para construir un conjunto correspondiente a $J \subset \mathbb{N}$ , hacer construcciones similares a las anteriores en todo $\mathbb{R}$ para cada $n \in J$ .
