Problema matemático de secundaria: Problemas con la representación compleja

Question

¿Qué es la $\sum\limits_{n>0,\text{ odd}} r^n \sin(nx)$ en términos de $z=re^{ix}$ ? He intentado escribir $\sin(nx)={e^{inx}-e^{-inx}\over 2i}$ pero entonces tengo un problema de signo porque el $n$ sobre el $r$ es siempre $>0$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Estás en el buen camino (o al menos en a buen camino). Después de expandir el seno, pon el $r^n$ en el numerador para obtener $$\sum_{n>0\text{ odd}} \frac{r^n(e^{ix})^n-r^n(e^{-ix})^n}{2i} = \sum_{n\text{ odd}}\frac{z^n-\overline z^n}{2i}$$ A continuación, puede dividirlo en dos series $$\frac{1}{2i}\left(\sum_{n\text{ odd}}z^n - \sum_{n\text{ odd}}\overline z^n\right)$$ y luego deshacerse de la restricción de imparidad en $n$ extrayendo uno de los factores de cada serie: $$\frac{1}{2i}\left(z\sum_{k=0}^\infty (z^2)^k - \overline z\sum_{k=0}^{\infty} (\overline z^2)^k\right)$$ ¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 2

Nota: Esto está relacionado con el Núcleo de Poisson . El conocimiento de esto puede acortar la solución.

Su suma es $$\sum_{n=0}^{\infty}r^{2n+1}\sin((2n+1)x)=\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}r^{2n+1}\left(e^{i(2n+1)x}-e^{-i(2n+1)x}\right).$$ Esto es $$\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}r^{2n+1}e^{i(2n+1)x}-\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}r^{2n+1}e^{-i(2n+1)x}=\frac{re^{ix}}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}\left(re^{ix}\right)^{2n}-\frac{re^{-ix}}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}\left(re^{-ix}\right)^{2n}.$$ Sumando las series geométricas, resulta $$\frac{re^{ix}}{2i}\frac{1}{1-r^{2}e^{2ix}}-\frac{re^{-ix}}{2i}\frac{1}{1-r^{2}e^{-2ix}}=\frac{1}{2i}\left(\frac{re^{ix}-re^{-ix}-r^{3}e^{-ix}+r^{3}e^{ix}}{1-2r^{2}\cos\left(2x\right)+r^{4}}\right) $$

$$=\frac{r(r^{2}+1)\sin(x)}{1-2r^{2}\cos\left(2x\right)+r^{4}}.$$

Answer 3

Comentado por Heike $$ r^{n}\sin nx=\frac{z^{n}-\overline{z}^{n}}{2i}. $$ Este resultado puede obtenerse restando los conjugados complejos $$ \begin{eqnarray*} z^{n} &=&r^{n}e^{inx}=r^{n}\cos nx+ir^{n}\sin nx \\ \overline{z}^{n} &=&r^{n}e^{-inx}=r^{n}\cos nx-ir^{n}\sin nx. \end{eqnarray*} $$ La serie dada puede reescribirse como $$ \begin{eqnarray*} S &:&=\sum_{n>0\;\text{odd}}r^{n}\sin (nx)=\sum_{k=1}^{\infty }r^{2k-1}\sin (\left( 2k-1\right) x) \\ &=&\sum_{k=1}^{\infty }\frac{z^{2k-1}-\overline{z}^{2k-1}}{2i} \\ &=&\frac{1}{2i}\sum_{k=1}^{\infty }z^{2k-1}-\frac{1}{2i}\sum_{k=1}^{\infty } \overline{z}^{2k-1} \end{eqnarray*} $$ porque $$ r^{2k-1}\sin \left( \left( 2k-1\right) x\right) =\frac{z^{2k-1}-\overline{z} ^{2k-1}}{2i}. $$ Como las sumas de las dos series geométricas son $$ \sum_{k=1}^{\infty }z^{2k-1}=\frac{z}{1-z^{2}}\qquad (\text{ratio }z^{2}, \text{ first term }z=re^{ix},\ r<1) $$ y $$ \sum_{k=1}^{\infty }\overline{z}^{2k-1}=\frac{\overline{z}}{1-\overline{z} ^{2}}\qquad (\text{ratio }\overline{z}^{2},\text{ first term }\overline{z}) $$ obtenemos $$ S=\frac{1}{2i}\frac{z}{1-z^{2}}-\frac{1}{2i}\frac{\overline{z}}{1-\overline{z }^{2}}. $$