Demostrando fórmula de la dimensión en álgebra lineal

Question

Deje $V$ $W$ ser finito dimensionales espacios vectoriales y deje $T:V \to W$ ser una transformación lineal.

(a) Probar que si $\dim(V) < \dim(W)$ $T$ no puede ser en.

(b) Probar que si $\dim(V) > \dim(W)$ $T$ no puede ser uno-a-uno.

Lo que he intentado:

(a) prueba por contradicción. Supongamos que $T$ es sobre. Entonces, ya que estamos, también, dado que $T$ es lineal, $T$ tiene que ser uno-a-uno. Por lo tanto $T$ es a la vez uno-a-uno y en lo que significa $\dim(V) = \dim(W)$ por lo tanto la contradicción el hecho de que $\dim(V) < \dim(W)$.

(b) de Nuevo prueba por contradicción, supongamos que $T$ es uno-a-uno. Entonces sabemos que el $\dim N(T) = 0$.

Y desde $\dim R(T) + \dim N(T) = \dim(V)$, esto hace que $\dim R(T) = \dim(W)$, y por lo tanto $V$ mapas en $W$, lo que contradice el hecho de que $\dim(V) > \dim(W)$ y, por tanto, demostrar la declaración.

Es mi demostrar la correcta? Podría alguien explicar? También podría alguien me muestre cómo hacer la prueba directamente en lugar de utilizar contradicción? Gracias

Answer 1

Usted no necesita contradicción.

Supongamos $\dim V<\dim W$; a continuación, $$ \dim R(T)=\dim V-\dim N(T)<\dim W-\dim N(T)<\dim W $$ por lo $\dim R(T)<\dim W$ $T$ no es sobre.

Supongamos $\dim V>\dim W$; a continuación, $$ \dim N(T)=\dim V-\dim R(T)>\dim W-\dim R(T)\ge0 $$ por lo $\dim N(T)>0$ $T$ no es uno-a-uno.

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¿Qué acerca de sus pruebas? El hecho de que en un lineal mapa es también uno-a-uno es válido sólo si el dominio y el codominio tienen la misma dimensión. Así que usted no puede usar el hecho de que $T$ es uno-a-uno en el primer intento.

El segundo intento es igualmente afectada por el supuesto erróneo de que un uno-a-uno lineal mapa es sobre, que a su vez sólo es válida si el dominio y el codominio tienen la misma dimensión.