Principios variacionales: Menisco

Question

En la determinación de la forma de un menisco, tenemos que minimizar la energía por unidad de longitud a lo largo de la dirección perpendicular a la sección transversal del menisco: $$\frac{E}{L}=\int^L_0 dx [\gamma \sqrt{1+(\partial_x h)^2}+\frac{1}{2}\Delta\rho g h^2]$$ donde $h(x)$ es la altura del menisco en $x$, $\gamma$ es la tensión de la superficie y del factor $\Delta \rho$ es la diferencia entre las densidades del líquido y del vapor por encima de ella.

Yo entiendo de donde el primer término viene de ... es la contribución de la energía debido a la tensión superficial. Pero no entiendo cómo el segundo término se obtiene. Se ve como una contribución de la energía potencial gravitatoria, pero yo no sé cómo esto se precisa la forma de llegar a ella. En particular, no entiendo por qué la $h$ se eleva al cuadrado.

Gracias.

Answer 1

De hecho, el segundo término es la energía potencial gravitatoria. La energía gravitacional de una continua cuerpo puede calcularse como $$ E_g = \int_\text{cuerpo} \rho g\ z \,d^3x, $$ donde suponemos que la aceleración gravitacional $g$ sólo ha $z$-componente. El 'cuerpo' que tiene en su problema sería tramo de longitud $L$ a lo largo de la $y$ eje y pone entre las superficies de $z=0$$z= h(x)$. Así que el volumen integral se reduce a: $$ E_g = \int_0^L dy \int_{x_1}^{x_2}\left(\int_0^{h(x)} \rho \g\ z \,dz\,\right)dx=L \int_{x_1}^{x_2} \frac12 \rho\ g\,h^2 dx. $$ Con el fin de recibir su expresión necesitamos sustituto $\rho$ $\Delta \rho$ a cuenta del hecho de que el líquido se desplaza de gas, que también tiene energía potencial.