En esta pregunta, vemos una prueba de que el mayor valor propio de una matriz estocástica es igual a 1:
Prueba de que el mayor valor propio de una matriz estocástica es 1
Sin embargo, creo que he encontrado una prueba de que cada El valor propio de una matriz estocástica es igual a 1. ¿Puede decirme en qué se equivoca mi demostración?
Prueba: Supongamos que ${\bf r}$ es un vector propio de la matriz estocástica de columnas $M$ (es decir $M{\bf r} = \lambda {\bf r}$ para algunos $\lambda$ ), y asumir sin pérdida de generalidad que las entradas de ${\bf r}$ suma a $1$ . Entonces $$M{\bf r} = \begin{bmatrix} M_{11}\\ M_{21}\\ \vdots\\ M_{n1} \end{bmatrix} r_1 + \begin{bmatrix} M_{12}\\ M_{22}\\ \vdots\\ M_{n2} \end{bmatrix} r_2 + \dots + \begin{bmatrix} M_{1n}\\ M_{2n}\\ \vdots\\ M_{nn} \end{bmatrix} r_n$$
Desde $M$ es estocástica de columna, cada columna debe sumar a $1$ por lo que la suma de las entradas en $M {\bf r}$ es sólo $1 \cdot r_1 + 1 \cdot r_2 + \dots + 1 \cdot r_n = 1$ . Por lo tanto, $\lambda$ debe ser $1$ y $M$ sólo puede tener un valor propio.
Gracias.
