No me gusta cómo los libros de teoría de conjuntos escriben fórmulas lógicas cuando describen conjuntos complejos. Por ejemplo así es como un libro normal puede mostrar que algún conjunto $s$ no es un par:
$$\forall x \forall y (\langle x,y \rangle \neq s)$$
O por esta vía un libro puede mostrar que algún conjunto $s$ es una relación: $$\forall p (p \in s \implies \exists x \exists y (\langle x,y \rangle = p))$$
La expresión $\langle x,y \rangle$ cuando se utiliza en las fórmulas me confunde. Es como si crear un objeto sobre la marcha . Si el objeto $\langle x,y \rangle$ fueran constantes, estaría bien, pero depende de los cuantificadores $x$ y $y$ y fuera de la fórmula no tiene sentido. Y los libros lo hacen todo el tiempo.
No he aprendido lógica en profundidad pero me parece que las fórmulas dadas no son fórmulas de la lógica de predicados. En la lógica de predicados tienes cuantificadores simples como $\forall x$ que abarcan objetos y tienes predicados que se evalúan como verdadero o falso, no como otros objetos. Pero en estas fórmulas es como si pudieras usar un cuantificador complejo: $\forall \langle x,y \rangle$ que abarca todos los pares.
Los autores de los libros de teoría de conjuntos empiezan a utilizar esta forma de escribir sin explicar lo que están haciendo. Es como si dijeran: "lo entenderás cuando hagas un curso de lógica, y ahora observa lo que hacemos y haz lo mismo". Pero, por desgracia, ni siquiera aclaran esto.
Sólo veo dos posibilidades: 1) estas son fórmulas legítimas en lógica de predicados, y mi confusión se debe a que no conozco bien la lógica, o 2) esta es sólo una manera informal de expresar ideas complejas, y siempre podemos traducir cualquier fórmula escrita de esta manera informal a una fórmula legítima de lógica de predicados.
Así es como expresaría que algún conjunto $s$ no es un par. Creemos una propiedad $P(x,y,z)$ lo cual es cierto si $\langle x,y \rangle = z$ :
$$P(x,y,z) \iff \exists a ( x \in a \land \forall v (v \in a \implies v =x) \land \exists b(x \in b \land y \in b \land \forall v (v \in b \implies v = x \lor v = y)) \land a \in z \land b \in z \land \forall v (v \in z \implies v = a \lor v = b))) $$
Dada esa propiedad podemos expresar que algún conjunto $s$ no es un par: $\forall x \forall y (\lnot P(x,y,s))$ . Aquí si sustituimos $P(x,y,s)$ con la fórmula grande dada anteriormente, obtendríamos una fórmula lógica de predicado legítima.
También podemos expresar que algún conjunto $f$ es una función:
$$\forall p (p \in f \implies (\exists x \exists y P(x,y,p) \land \lnot \exists y' \exists p'(y \neq y' \land P(x,y',p') \land p' \in f)))$$
