Ejemplos de un grupo de $G$, con un no-trivial homomorphism $f:G \to Z(G)$

Question

Hace poco me enteré de que si $f: G \to Z(G)$ es un homomorphism de $G$ a su centro, a continuación, $g:G \to G$ define como $g(x)=f(x)x$ es un endomorfismo de $G$.

Estoy teniendo problemas con el pensamiento de los ejemplos de (finito) de grupo con un no-trivial homomorphism de sí misma, hacia su centro. Esto excluye trivial y centros de abelian grupos. Alguien puede darme al menos dos ejemplos?

EDIT: Se me ocurre que si $G=H \times A$ para un grupo de $H$ no triviales centro y grupo abelian $A$, entonces el mapa de $f:(x,y) = y$ es un homomorphism. En esencia, el automorphism $g$ luego $g(x,y) = (x,y^2)$. Un ejemplo en donde la $G$ no puede ser descompuesto como tal, se agradece.

EDIT: creo que tengo un poco de confusión acerca de las propiedades de $f$ a fin de que $g$ debe ser un automorphism. Es decir, estoy seguro de que si la imagen de $f$ debe ser todo el centro o no.

Answer 1

Para cualquier campo finito $F$ y cualquier $n$, se puede considerar $G:=\operatorname{GL}_n$, cuyo centro es $F^\times I$ donde $I$ es la matriz identidad. Ahora, tome el determinante como su homomorphism.

Answer 2

Considere la posibilidad de $G = D_{n} = \langle r, s | r^n, s^2, srsr \rangle$ $n = 2k$ incluso. A continuación, $H = \langle r \rangle$ es normal en $G$, y $$G/H \cong C_2 \cong Z(G) = \langle r^k \rangle.$$ So composing the projection $G / a G/H$ with this isomorphism gives you a map of the desired kind, and I think it's non-trivial in all the ways you've requested. I should also take $k$ a ser, incluso, por la razón que se describe en los comentarios de abajo.