Un módulo que tiene una base más corta que su rango?

Question

Rango de lo que ha sido definido para mí como el número máximo de elementos de M que son linealmente independientes, permitiendo que el rango de a $0$ si el módulo de torsión, o $\infty$ si no hay un máximo. Ahora, el curso se basa bastante en el libro de Álgebra Abstracta por Dummit y Foote, y allí, el rango se define como la longitud de una base de $M$ (suponga $M$ tiene un número finito de base y que $R$ es conmutativo con $1$ aquí para tener una bien definida rango).

Ahora estamos viendo el siguiente teorema:

Deje $R$ ser un PID y $M$ un módulo de rango $n$. Entonces cualquier submódulo $N$ $M$ satisface:

(1) $N$ es libre de rango inferior a $n$.

(2) Hay una base $y_1,...,y_n$ $M$ tal que $r_1y_1,...,r_ty_t$ es una base para $N$, para algunas de las $t \le n$.

Creo que, según mi definición, la longitud de la base' de M no tiene que ser n. Ciertamente no puede tener más de n, porque entonces los elementos de l.d., pero podría ser menor que n. En consecuencia, la afirmación (2) no tiene sentido a priori.

Mi pregunta es si el hecho de que $R$ es un PID y $M$ es un módulo más de $R$ implica que ambas definiciones de rango coinciden (es decir, que el número máximo de l.yo. elementos es también la longitud de la base es de $M$), o si esto era simplemente un error debido a mi profesor dando una definición diferente de rango.

Answer 1

Esto es probado en Dummit y Foote. Para distinguir las dos definiciones de la clasificación, llame al número máximo de elementos de $M$ que son linealmente independientes, la LI rango, y para una libre $R$-módulo de $M$ el tamaño de una base de $M$ libre de rango.

Como se observa, desde una base deben ser linealmente independientes, entonces libre de rango $\leq$ LI rango. La proposición 3 de $\S12.1$ de Dummit y Foote (p. 459) implica la inversa de la desigualdad.

Proposición 3. Deje $R$ integrante de dominio y deje $M$ libre $R$-módulo de rango $n < \infty$. Entonces cualquier $n+1$ elementos de $M$ se $R$-linealmente dependientes, es decir, para cualquier $y_1, \ldots, y_{n+1} \in M$ hay elementos $r_1, \ldots, r_{n+1} \in R$, no todos cero, tales que $$ r_1 y_1 + \cdots + r_{n+1} y_{n+1} = 0 \, . $$

Si usted sabe acerca de la localización, se puede dar una rápida prueba de ello, pasando el campo de fracciones de $F$$R$. Deje $S = R \setminus \{0\}$$S^{-1}R = F$. A continuación, $S^{-1} M$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$, para una máxima linealmente independientes conjunto es una base de los resultados sobre espacios vectoriales. Hay una alternativa de la prueba incluido en Dummit y Foote.

Solo como nota, en la p. 460 Dummit y Foote hacer la misma definición de rango como de su profesor y de la observación en la equivalencia de las definiciones.