Límite que implican inversa de la función tan

Question

He resuelto de la siguiente limitar el uso de L'Hospital de la regla, pero parece que no puede resolver sin el uso de L'Hospital. $$\lim_{x\to\infty} \frac{e^{-1/x^2}-1}{2\arctan x-\pi}$$

Me gustaria una sugerencia en cuanto a cómo empezar.

También me pregunto cómo el enfoque de funciones trigonométricas inversas, en general, cuando aparecen en los límites, ya que yo no entendía ninguna de las soluciones para este tipo de problema que miré hacia arriba.

Answer 1

Como $\arctan y+\operatorname{arccot} y=\dfrac\pi2$

Set $1/x=h$ y el uso de Se $\mathrm{arccot}(x)$ $\arctan(1/x)$ la misma función? para obtener

$$-1/2\cdot\lim_{h\to0^+}\frac{e^{-h^2}-1}{\dfrac\pi2-\arctan 1/h}$$ $$=-1/2\cdot\lim_{h\to0^+}\frac{e^{-h^2}-1}{\arctan h}$$

$$=1/2\cdot\lim_{h\to0^+}\frac{e^{-h^2}-1}{-h^2}\cdot\lim_{h\to0^+}\dfrac h{\arctan h}\cdot\lim_{h\to0^+} h=?$$

Answer 2

Se puede observar que, como $x \to +\infty$, tenemos $$ \frac{e^{-1/x^2}-1}{2\arctan x-\pi}=\frac{(1-1/x^2)-1+O(1/x^4)}{2(\pi/2-\arctan (1/x))-\pi}=\frac{-1/x^2+O(1/x^4)}{-1/x+O(1/x^2)}=1/x+O(1/x)\a 0 $$ where we have used, as $u \a 0$, el estándar de la serie de Taylor expansiones $$ \begin{align} e^u&=1+u+O(u^2)\\ \arctan u &=u+O(u^2). \end{align} $$