Definición básica de Límite Inversa en gavilla teoría / esquemas

Question

He leído el libro "la Geometría Algebraica" por U. Görtz y siempre que los límites están involucrados lucha por un entendimiento. La aplicación de límites es en su mayoría muy básico, aunque; pero soy nuevo en el concepto de límites.

Mi ejemplo (página 60 del libro): Vamos a $A$ integrante de dominio. La estructura de la gavilla $O_X$ $X = \text{Spec}A$ está dado por $O_X(D(f)) = A_f$ ($f\in A$) y para cualquier $U\subseteq X$ por

$$\begin{align} O_X(U) &= \varprojlim_{D(f)\subseteq U} O_X(D(f)) \\ &:= \{ (s_{D(f)})_{D(f)\subseteq U} \in \prod_{D(f)\subseteq U} O_X(D(f)) \mid \text{for all } D(g) \subseteq D(f) \subseteq U: s_{D(f)\big|D(g)} = s_{D(g)}\} \\ &= \bigcap_{D(f)\subseteq U} A_f. \end{align}$$

Yo simplemente no entiendo la última igualdad: En mi ingenua de la comprensión de los elementos de la última son "fracciones" y a los elementos de la Inversa Límite "a las familias de fracciones".

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Mi consejo personal es que estudiar un poco de la categoría de la teoría: te permitirá entender todo esto en una muy manera más clara. De hecho, usted puede fácilmente darse cuenta de que la primera igualdad no es una definición, sino una manera de expresar un límite de un arbitrario presheaf, mientras que el segundo es un isomorfismo, no se corresponde exactamente con la igualdad, dado por el universal, propiedad de la definición de límites. Empecé con Hartshorne, pero sin la categoría de teoría como de fondo es como vagar en la oscuridad, sin siquiera una vela con usted.

Answer 2

No es la mejor manera de definir la estructura de la gavilla. Sólo usa el hecho de que $D(f)$ formulario de base para la topología. Para ver la última isomorfismo si lo desea, puede definir la gavilla de regular las funciones de $\mathscr{R}(U)=\cap_{x\in X}A_{\frak{p}_x}$. La forma correcta de entender esto es que para cada una se le da el anillo de funciones regulares en $U$ y que puede ser visto como una de las funciones que son regulares en cada punto de $U$. Observe que $\mathscr{R}(U)$ es la misma que la última intersección, y que tienen un mapa de $\mathscr{R}\rightarrow \mathscr{O}_X$ que $U\subset X$ envía $\phi\in \cap_{D(f)\subset U}A_f$ $(\phi\mid D(f)\subset U)\in \prod A_f$que asolan sabio es un isomorfismo.