Si $A^2 = B^2$, $A=B$ o $A=-B$

Question

Deje $A_{n\times n},B_{n\times n}$ ser matrices cuadradas con $n \geq 2$. Si $A^2 = B^2$, $A=B$ o $A=-B$.

Esto está mal, pero no veo por qué no. ¿Tienes algún contraejemplo?

Answer 1

$A = I_2$, $B = \begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$

A continuación,$A^2 = B^2 = I_2$, pero $A \ne \pm B$.

Edición I:
En general, usted puede tomar cualquiera de las dos distintas matrices de reflexión (la de Darth Geek de la respuesta, por ejemplo). Cualquier matriz $R$ tienen $R^2 = I$ (para los que son ortogonales y simétrica). Usted puede encontrar un montón de cualquier orden. Véase, por ejemplo: https://en.wikipedia.org/wiki/Householder_transformation.

Answer 2

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$

Answer 3

Si $a^{2}-b^{2}=0$ en, por ejemplo,$\mathbb{R}$, luego tenemos a $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}=0$ y, en consecuencia,$a=b\vee a=-b$.

Cuando se trata de matrices, a continuación, $\left(A-B\right)\left(A+B\right)=A^{2}+AB-BA-B^{2}$ donde $AB$ $BA$ no son necesariamente los mismos.

En segundo lugar $UV=0$ no implica necesariamente que $U=0\vee V=0$

Para contraejemplos ver las otras respuestas.

Answer 4

$A = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 \\ 3 & -1/2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$