¿Es posible desarrollar geometría diferencial sin puntos?

Question

Leer sobre topología insustancial y teoría de la configuración regional y a ser curioso acerca de este tema.

Por ejemplo, es el concepto "distribuidor diferencial" corresponde a "topológico múltiple". ¿Como esto, hay algo como "diferencial locale" o "topología diferencial sin sentido"?

Answer 1

Sí, absolutamente. El enfoque que yo sé acerca de es sintético de la geometría diferencial, que comienza con el pensamiento de los colectores no a través de sus subyacente localmente Euclídeo topología (esto es analítica geometría diferencial!) pero a través de su suave funciones, en particular aquellos a y desde la línea de $R$ ($R$ se comporta de forma diferente suficiente de $\mathbb{R}$ que es una buena idea utilizar la notación diferente.)

En un desarrollo de la teoría, empezamos con $R$ formal doble a $C^\infty(\mathbb{R})$ el buen funciones en la línea clásica, y puede conseguir un montón de interesantes generalizada colectores mediante el establecimiento $M=M(I)\subset R^n$ a ser el formal doble de $C^\infty(\mathbb{R}^n)/I$ donde $I$ es ideal, con algunas buenas analítica de las propiedades. Si conceptualizamos $M$ como el cero locus de funciones en $I$, como en la geometría algebraica, entonces, por ejemplo, tenemos $D$, el doble de $C^\infty(\mathbb{R})/(x^2)=\{a+b\epsilon,\epsilon^2=0\}$, da como $\{d\in R:d^2=0\}$. Como en el sentido de la topología, es posible interpretar los puntos en este contexto, como los mapas de un singleton a $M$. Por dualizing, estos son sólo los mapas de $C^\infty(M)\to C^\infty(*)=\mathbb{R}$. Ahora el único anillo de homomorphism de $C^\infty(D)\to \mathbb{R}$ es la evaluación en cero, $a+b\epsilon\mapsto a$. En otras palabras, $0$ es el único punto de $D$. Pero $D$ no es casi isomorfo al singleton $*$: sus álgebras de las funciones lisas incluso no tiene la misma dimensión en el $\mathbb{R}$!

Este comportamiento de $D$, de hecho, es la primera clave para el conjunto de la teoría, ya que nos permite definir la diferenciación mediante la restricción de los mapas en $R$ a los mapas en $D$ y la configuración de la derivada a ser$b$$a+b\epsilon$. Así que, como en el sentido de la topología, los puntos no decir casi toda la historia de SDG.