Probar que si $f(x)=a/(x+b)$ $f((x_1+x_2)/2)\le(f(x_1)+f(x_2))/2$

Question

Este ejercicio :

Si $f(x)=a/(x+b)$: $$ f((x_1+x_2)/2)\le(f(x_1)+f(x_2))/2$ $

estaba en mi olimpíadas de matemáticas de hoy (de 16 años de edad). He demostrado esto diciendo que esto es cierto debido a la desigualdad de Jensen.

Es esta una respuesta aceptable?(con dejar de lado el hecho de que yo no demostrar que la función es convexa, ya que no se puede hacer con la información que tengo hasta ahora). ¿Tiene alguna otra manera de probar esto?

Answer 1

Voy a usar las $x$ $y$ en lugar de $x_1,x_2$ .

Usted puede simplemente calcular y ver lo que se obtiene :

$$\frac{1}{2} \cdot \left (\frac{a}{x+b}+\frac{a}{y+b} \right )>\frac{2a}{2b+x+y}$$

$$\frac{1}{x+b}+\frac{1}{y+b} \geq \frac{4}{x+y+2b}$$

Usted puede comprobar esto por un simple cálculo :

$$\frac{(x-y)^2}{(x+b)(y+b)(x+y+2b)} \geq 0$ $ , que es obvio .

También puede probar por Cauchy-Schwarz en una forma especial :

$$\frac{1}{x+b}+\frac{1}{y+b} \geq \frac{(1+1)^2}{x+y+2b}=\frac{4}{x+y+2b}$$

Answer 2

Usted puede probar que f es convexa por encontrar la segunda derivada, lo cual es positivo.