$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^0_{z_a} e^{\frac{-z^2}{2}} \, dz = 0.48 $$
¿Cómo puedo resolver para el valor de $z_a$ el uso de una calculadora?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Romulo Ceccon
Puntos
188
Definir
$$ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_z^0 e^{-t^2/2}\,dt. $$
Aquí está una parcela de $f(z)$:
Hay dos características notables de esta trama:
Al $z$ es cercana a cero, $f(z)$ está muy cerca de a $-\sqrt{2\pi} z$. En efecto, mediante el cálculo de los derivados utilizando el teorema fundamental del cálculo nos puede mostrar que $$\begin{align} f(z) &= f(0) + f'(0)z + \frac{f''(0)}{2}z^2 + O(z^3) \\&= -\sqrt{2\pi}z + O(z^3) \end{align}$$ as $z \a 0$.
Al $z$ está lejos de cero, $f(z)$ está muy cerca de a $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-t^2/2}\,dt = \frac{1}{2}.$$
Usted está interesado en la solución de la ecuación
$$ f(z) = 0.48, $$
y desde $0.48$ está muy cerca de a $1/2$ sería de esperar que $z$ cae en la segunda categoría. Vamos a calcular una estimación inicial $z_0$$z$.
La división de la integral, a continuación, integrando por partes obtenemos
$$ \begin{align} f(z) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^0 e^{-t^2/2}\,dt - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z e^{-t^2/2}\,dt \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z e^{-t^2/2}\,dt \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z t^{-1} d\left(e^{-t^2/2}\right) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\left. t^{-1} e^{-t^2/2} \right|_{t=-\infty}^{t=z} + \int_{-\infty}^{z} t^{-2} e^{-t^2/2}\,dt\right) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} z^{-1} e^{-z^2/2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} t^{-2} e^{-t^2/2}\,dt. \end{align} $$
Esta nueva integral con su factor de $t^{-2}$ en el integrando es seguramente mucho más pequeño que el original al $z$ es grande y negativo, así que nuestra primera aproximación a $f(z)$ en este caso sería
$$ f(z) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} z^{-1} e^{-z^2/2}. $$
Aquí está una parcela de $f(z)$ en azul frente a esta aproximación en rojo:
Por tanto, si se quería resolver una ecuación como
$$ f(z) = \frac{1}{2}-\epsilon $$
(como lo hacemos nosotros, con $\epsilon = 0.02$), entonces podríamos tener un aproximado de la solución en lugar de problemas
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} z^{-1} e^{-z^2/2} = \frac{1}{2}-\epsilon, $$
que es el mismo que
$$ -\frac{1}{\sqrt{2\pi} \epsilon} = z e^{z^2/2}. $$
El cuadrado de los rendimientos de este
$$ \frac{1}{2\pi \epsilon^2} = z^2 e^{z^2}, $$
que puede ser resuelto mediante la función W de Lambert como
$$ z^2 = W(1/(2\pi \epsilon^2)). $$
Por último, tomando la raíz cuadrada negativa (recordemos que desee $z$ negativo) los rendimientos
$$ z = -\sqrt{W(1/(2\pi \epsilon^2))}. $$
Para un gran $x$ se sabe que $W(x) \approx \log x - \log\log x$ (para una prueba de ver esta respuesta), así que para pequeños $\epsilon$ hemos
$$ z \aprox -\sqrt{\log \frac{1}{2\pi \epsilon^2} - \log\log \frac{1}{2\pi \epsilon^2}}. $$
Por lo tanto nuestra primera aproximación a $z_0$ para la solución de la ecuación
$$ f(z) = 0.48 = \frac{1}{2} - 0.02 = \frac{1}{2} - \epsilon $$
es
$$ z_0 = -\sqrt{\log \frac{1}{2\pi \epsilon^2} - \log\log \frac{1}{2\pi \epsilon^2}}{\Bigg |}_{\epsilon = 0.02} \doteq -2.04859. $$
Ahora, utilizando este valor inicial $z_0 = -2.04859$, se puede obtener un valor más exacto de la raíz de
$$ f(z) = 0.48 $$
mediante el método de Newton. Vamos a definir $g(z) := f(z) - 0.48$, por lo que la ecuación que queremos resolver es
$$ g(z) = 0. $$
Usando el teorema fundamental del cálculo nos puede calcular
$$ g'(z) = - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}, $$
para la iteración para el método de Newton,
$$ z_{n+1} = z_n - \frac{g(z_n)}{g'(z_n)}, $$
es
$$ z_{n+1} = z_n + e^{z_n^2/2} \left(\int_{z_n}^0 e^{-t^2/2}\,dt - 0.48\sqrt{2\pi}\right). $$
Podemos repetir esta recurrencia utilizando el valor inicial $z_0 = -2.04859$ para obtener mejores aproximaciones de la raíz. Mathematica produce la recorre
$$ \begin{align} z_1 &= -2.05372, \\ z_2 &= -2.05375, \\ z_3 &= -2.05375, \end{align} $$
así que parece que la raíz es $z \doteq -2.05375$ a los seis cifras significativas. De hecho, la raíz es de aproximadamente
$$ z \doteq -2.05374\ 89106\ 31823\ 05294. $$
La Casio fx-991EX ADEMÁS tiene un botón para la integración numérica por lo que este proceso de iteración debe ser factible en su calculadora de mano.
