Tengo que utilizar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue para demostrar que
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty \left[1+ \frac{\ln(x + n^2)}{n^{1/2}}\sin(x^2) + \cos\left(\frac{1}{n+x}\right)\right] e^{-x/5} \, d\lambda\ = 5 $$
¿Tengo que encontrar la función $g$ que limita todos los $f_n$ ? [puesto que ya dice que se demuestre utilizando el teorema de convergencia dominada]
Lo que he hecho hasta ahora es:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty \left[1+ \frac{\ln(x + n^2)}{n^{1/2}}\sin(x^2) + \cos\left(\frac{1}{n+x}\right)\right] e^{-x/5} \, d\lambda $$ $$ = \int_0^\infty \lim_{n\rightarrow\infty}\left[1+ \frac{\ln(x + n^2)}{n^{1/2}}\sin(x^2) + \cos\left(\frac{1}{n+x}\right)\right] e^{-x/5} \, d\lambda$$
Entonces,
$$\frac{\ln(x+n^2)}{n^{1/2}}=\frac{\ln\left(n^2\left(1+\frac{x}{n^2}\right)\right)}{n^{1/2}} = \frac{2\ln n +\ln\left(1+\frac{x}{n^2}\right)}{n^{1/2}}$$
He utilizado la expansión maclaurin de $\ln(1+X)$ para demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(1+\frac{x}{n^2})}{n^{1/2}}=0$
He comparado $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln{n}}{n^{1/2}}$ a $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln{x}}{x^{1/2}}$ y utilicé la regla de l'Hopital para demostrar que el límite es cero, ya que encontré un ejemplo así en youtube.
No sé si es bueno. Además, cuando uso la expansión de maclaurin de $\cos(X)$ y tomar $\lim_{n\rightarrow\infty}\cos(\frac{1}{n+x})$ , consigo que sea $1$ .
Entonces me sale $10$ como respuesta final.
