$$\int\sin51x\sin^{49}x\ dx$$ He tratado de integración por partes, pero no podía llegar a ninguna conclusión. Poderes y múltiplos tienen algún tipo de correlación, supongo. Por favor proporcionar una sugerencia.
Respuestas
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Deje $$I = \int \sin (50x+x)\cdot \sin^{49}xdx$$
$$I = \int \left(\sin 50 x\cdot \cos x+\cos 50 x\cdot \sin x\right)\cdot \sin^{49}xdx$$
Por lo $$I = \int \sin 50 x\cdot \sin^{49}x\cos xdx+\int \cos 50 x\sin^{50}xdx$$
Usando Integración por partes para $(1)$
Por lo $$I = \sin 50 x\cdot \frac{\sin^{50}x}{50}-\int 50 \cos 50 x \cdot \frac{\sin^{50}x}{50}dx+\int \cos 50 x\cdot \sin^{50}xdx+\mathcal{C}$$
Por lo $$I =\int \sin (50x+x)\cdot \sin^{49}xdx= \frac{\sin 50 x\cdot \sin^{50}x}{50}+\mathcal{C}$$
Claude Leibovici
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Probablemente es demasiado largo para un comentario.
Utilizando el mismo enfoque que juantheron en su respuesta, algunos hermosos resultados son obtenidos de manera similar. $$\int\sin ^n(x) \sin ((n+2) x)\,dx=\frac{\sin ^{n+1}(x) \sin ((n+1) x)}{n+1}$$ $$\int\cos ^n(x) \cos ((n+2) x)\,dx=\frac{\cos ^{n+1}(x)\sin ((n+1) x)}{n+1}$$ $$\int\cos ^n(x) \sin ((n+2) x)\,dx=-\frac{\cos ^{n+1}(x) \cos ((n+1) x)}{n+1}$$ $$\int\sin ^n(x) \cos ((n+2) x)\,dx=\frac{\sin ^{n+1}(x) \cos ((n+1) x)}{n+1}$$ Be aware that, trying with $(n+a)$ instead of $(n+2)$, usted podría obtener verdaderos monstruos.
