Encontrar la derivada de la función $F(x) = \int_{\tan{x}}^{x^2} \frac{1}{\sqrt{2+t^4}}\,dt$.

Question

$$\begin{align} \left(\int_{\tan{x}}^{x^2} \frac{1}{\sqrt{2+t^4}}\,dt\right)' &= \frac{1}{\sqrt{2+t^4}}2x - \frac{1}{\sqrt{2+t^4}}\sec^2{x} \\ &= \frac{2x}{\sqrt{2+t^4}} - \frac{\sec^2{x}}{\sqrt{2+t^4}} \\ &= \frac{2x-\sec^2{x}}{\sqrt{2+t^4}} \\ \end{align}$$

Actualización:

Se esta buscando mejor??

$$\begin{align} \left(\int_{\tan{x}}^{x^2} \frac{1}{\sqrt{2+t^4}}\,dt\right)' &= \frac{1}{\sqrt{2+(x^2)^4}}2x - \frac{1}{\sqrt{2+(\tan{x})^4}}\sec^2{x} \\ &= \frac{2x}{\sqrt{2+x^8}} - \frac{\sec^2{x}}{\sqrt{2+\tan^4{x}}} \\ \end{align}$$

Es esto correcto?

Answer 1

$\text{ Recall } \int_{a(x)}^{b(x)}f(t) dt=F(b(x))-F(a(x)) \text{ *note:} \text{( where } F'=f) \\ \frac{d}{dx}[F(b(x))-F(a(x))]=\frac{d}{dx}F(b(x))-\frac{d}{dx}F(a(x)) \text{ by difference rule } \\ \\ \text{ now you use chain rule and you are almost there } $

Answer 2

Pista para encontrar derivados: el Uso de la FTC, http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Formal_statements, $F'(x)=\frac{d}{dx}\int^x_a f(t)dt=f(x)$

Respuesta a la pregunta original: SUGERENCIA para integrar: \begin{align} \int_{\tan{x}}^{x^2} \frac{1}{\sqrt{2+t^4}}\,dt &= \frac{1}{\sqrt2} \int_{\tan{x}}^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{t^4}{2}}}\,dt \\ &= \frac{1}{\sqrt2} \int_{\tan{x}}^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{t^4}{2}}}\,dt \\ \end{align} A continuación, vamos a $\tan^2 u=t^4/2$

Answer 3

No. $t$ es un silencio variable. La respuesta debe tener $x$ como única variable. Yor cálculos son similares a $$ \int_1^2t\,dt=2\cdot t-1\cdot t=t, $$ lo cual es evidentemente falso.