La existencia de subgrupos normales de un grupo de orden $36$

Question

Probar que un grupo de orden 36 debe tener un subgrupo normal de orden 3 o 9.

Vamos a n2 el número de los 2-subgrupos de Sylow de G (con |G|=36). Entonces n debe ser 1 o 3. Vamos a n3 ser el número de 3-subgrupos de Sylow de G. entonces n3=1 n3=4 si n3=1 tenemos 1 3-sylow grupo de orden 9. y también es un grupo normal(del teorema de sylow ) si n2=1 no es normal grupo de orden 4, pero no puedo mostrar normal grupo de orden 3.

Answer 1

Suponga que $G$ $4$ Sylow $3$-grupos, como señaló $(n_3=1+3k|4, n_3\neq1)$. La definición de la conjugación de la acción en el conjunto de estos $4$ Sylow $3$-grupos; tenemos la inducida por homomorphism $\phi: G\longrightarrow S_4$. Por eso, $\frac{G}{\ker\phi}\hookrightarrow S_4$, pero $3^2\bigg||G|=36$ de la dosis y no dividir,$|S_4| = 24$, $\ker\phi\neq 1$ y, por supuesto,$\ker\phi\neq G$. Esto significa que no debe ser no trivial núcleo, que es un no-trivial subgrupo normal de G.