¿Cuál es la invariante correcta $\sigma$ -para el teorema ergódico de Birkhoff?

Question

He estado leyendo cosas sobre la teoría ergódica, y me he encontrado con dos versiones del involucrado "campo sigma invariante". dejemos que el espacio de probabilidad subyacente sea $(\Omega,\mathcal{F},P)$ y consideremos una transformación que preserva la medida $T:\Omega \rightarrow \Omega$ ). entonces las dos definiciones del $T$ -Los conjuntos invariantes son:

1) $\mathcal{I}_1:=\{A \in \mathcal{F} \mid T^{-1}A=A\}$ ;

2) $\mathcal{I}_2:=\{A \in \mathcal{F} \mid P(T^{-1}A \Delta A) = 0\}$ ;

obviamente, $\mathcal{I}_1\subseteq\mathcal{I}_2$ . pero no creo que $\mathcal{I}_2\subseteq\mathcal{I}_1$ también se mantiene. 2¿Cuál es la relación entre ambas (la mayor es la terminación de la menor?)?

Pero aquí está la cuestión principal: ¿cuál es el campo sigma "condicionante" correcto para el límite en el teorema ergódico de Birkhoff? ¿Son las expectativas condicionales versiones unas de otras? En caso afirmativo, ¿cómo lo demostraría?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\mathcal N$ denotan los subconjuntos $N$ de $\Omega$ para lo cual $\mu(N)=0$ .

En realidad tenemos $\mathcal I_2=\{S\cup N, S\in\mathcal I_1,N\in\mathcal N\}$ .

De hecho, si $B\in\mathcal I_2$ entonces $\mu(B\Delta T^{-1}B)=0$ . Definimos $C:=\bigcap_{N\geqslant 0}\bigcup_{n\geqslant N}T^{-n}B$ . Entonces $\mu(C\Delta B)=0^{(\ast)}$ y $C\in\mathcal I_1$ . Por lo tanto, tomamos $N:=C\Delta B$ .

Probemos $(\ast)$ . Por el hecho de que $\mu(B\Delta T^{-n}B)=0$ para cada $n$ y definiendo $C_N:=\bigcup_{n\geqslant N}T^{-n}B$ obtenemos $\mu(B\Delta C_N)=0$ para cada $N$ . Ahora bien, fíjate en que $C_N\downarrow C$ .